Einheitskreis und Bogenmaß

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Jahrgangsstufe 10 › Sinus- und Kosinusfunktion

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Einheitskreis und Bogenmaß

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Der Einheitskreis hat den Radius 1. Wie lang ist der Halbkreis?

  1. π\pi
  2. 180180

Die Grundidee

Das Bogenmaß misst einen Winkel durch eine Bogenlänge.

Am Einheitskreis (Radius 1, gegen den Uhrzeigersinn) gehört zum Winkel xx im Bogenmaß ein Bogen der Länge xx. 180°180° entspricht π\pi.

Man „wickelt“ die Zahlengerade auf den Kreis: Zu jeder reellen Zahl xx gehört ein Punkt P(x)P(x). xx und x+2πx + 2\pi ergeben denselben Punkt.

Beispiel

Rechne 60°60° ins Bogenmaß um.

60°  =^  60180π60° \;\hat{=}\; \dfrac{60}{180}\pi
180° entspricht π.
π3\dfrac{\pi}{3}
Kürzen.

Du bist dran

Jetzt du: 90°90° im Bogenmaß, ausgedrückt mit π\pi?

π2\dfrac{\pi}{2}
Die Hälfte von π.

Üben ★

  1. Rechne 90°90° ins Bogenmaß um.
  2. Rechne 60°60° ins Bogenmaß um.
  3. Rechne 45°45° ins Bogenmaß um.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Der Punkt P(x)P(x) fällt mit P(x+2π)P\left(x + 2\pi\right) zusammen. Wie viele volle Umdrehungen liegen zwischen diesen beiden Werten?
  2. Der Punkt P(x)P(x) fällt mit P(x+8π)P\left(x + 8\pi\right) zusammen. Wie viele volle Umdrehungen liegen zwischen diesen beiden Werten?
  1. Rechne π3\dfrac{\pi}{ 3 } ins Gradmaß um.
  1. Wie lang ist auf einem Kreis mit dem Radius 7 der Bogen zum Winkel 2 (im Bogenmaß)?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Rechne 90°90° ins Bogenmaß um.
  2. Rechne 60°60° ins Bogenmaß um.
  3. Rechne 45°45° ins Bogenmaß um.

Merkkarte

Bogenmaß

  • 180°180° entspricht π\pi.
  • xx und x+2πx + 2\pi: derselbe Punkt.

Achtung: Den Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) stellen.

Ende der Lektion

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Lösungen: Einheitskreis und Bogenmaß

A

  1. π2\frac{\pi}{2}
  2. π3\frac{\pi}{3}
  3. π4\frac{\pi}{4}

B

  1. 11
  2. 44

C

  1. 6060

D

  1. 1414

E

  1. π2\frac{\pi}{2}
  2. π3\frac{\pi}{3}
  3. π4\frac{\pi}{4}

CC BY-SA 4.0