Die Ableitung an einer Stelle: Definition als Grenzwert

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Die violette Kurve ist der Graph von $y = x^2$ . Die blaue Gerade geht durch seine Punkte mit den x-Werten $a$ und $a + h$ . Verschiebe $a$ und verkleinere dann $h$ .

Die Parabel y = x² und eine Sekante durch ihre Punkte mit den x-Werten a und a + h. Wird h kleiner, nähert sich die Sekante der Tangente bei a mit der Steigung 2a.

Für $a = 1$ hat die blaue Gerade die Steigung $2 + h$ . Wogegen strebt sie, wenn $h$ gegen 0 geht?

2
1

Die Grundidee

Der Differenzenquotient von $f$ zwischen $a$ und $a + h$ ist die Steigung der Sekante. Sein Grenzwert ist die Ableitung.

Schritt 1h = 2: Die Sekante durch P und Q hat die Steigung 2.
Schritt 2h = 1: Steigung 1,5.
Schritt 3h = 0,5: Steigung 1,25.
Schritt 4h = 0,1: Steigung 1,05; die Werte nähern sich 1, der Steigung der Tangente in P.

f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}

, falls dieser Grenzwert existiert (Differentialquotient). Das ist die Steigung der Tangente an der Stelle

a

, die lokale Änderungsrate.

Beispiel

$f(x) = x^2 + 3x$ . Berechne $f'(2)$ .

f(2 + h) - f(2) = 7h + h^2

f(2 + h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h und f(2) = 10.

\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = 7 + h

Durch h ≠ 0 teilen.

f'(2) = 7

h gegen 0.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x^2 + 3x$ an der Stelle $a = 1$ .

f(1 + h) - f(1) = 5h + h^2

f(1 + h) = 1 + 2h + h² + 3 + 3h und f(1) = 4.

f'(1) = 5

Durch h teilen, dann h gegen 0.

Üben ★

$f(x) = x^2 + 4x$ . Berechne $f'(4)$ mit $f'(4) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(4 + h) - f(4)}{h}$ .
$f(x) = x^2 + 4x$ . Berechne $f'(2)$ mit $f'(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ .
$f(x) = x^2 + 5x$ . Berechne $f'(5)$ mit $f'(5) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(5 + h) - f(5)}{h}$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Welcher Ausdruck ist gleich $f'(2)$ ?
1. $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$
2. $\displaystyle\lim_{h \to 0} \big(f(2 + h) - f(2)\big)$
3. $\dfrac{f(2 + 1) - f(2)}{1}$
4. $f(2)$

$f(x) = \dfrac{ 4 }{x}$ . Berechne $f'(3)$ mit dem Differentialquotienten.
$f(x) = \dfrac{ 6 }{x}$ . Berechne $f'(4)$ mit dem Differentialquotienten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = x^2 + 4x$ . Berechne $f'(4)$ mit $f'(4) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(4 + h) - f(4)}{h}$ .
$f(x) = x^2 + 4x$ . Berechne $f'(2)$ mit $f'(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ .
$f(x) = x^2 + 5x$ . Berechne $f'(5)$ mit $f'(5) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(5 + h) - f(5)}{h}$ .

Merkkarte

Ableitung an einer Stelle

$f(a + h) - f(a)$ aufstellen und vereinfachen.
Durch $h$ teilen, dann $h$ gegen 0 gehen lassen.

Achtung: $f'(a)$ ist eine Steigung, nicht der Funktionswert $f(a)$ .

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