Differenzierbarkeit und Stetigkeit

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f(x) = |x|$ . Knapp links von 0 ist die Steigung $-1$ , knapp rechts $1$ . Hat der Graph im Ursprung eine Tangente?

Nein
Ja, denn der Graph hat keine Lücke

Die Grundidee

Differenzierbar an der Stelle $a$ heißt: Es gibt die Ableitung $f'(a)$ .

Jede an der Stelle $a$ differenzierbare Funktion ist dort stetig. Die Umkehrung ist falsch: Eine stetige Funktion ist an einer Knickstelle oder bei einer senkrechten Tangente nicht differenzierbar.

Beispiel

Ist $f(x) = |x - 2| + 1$ an der Stelle $x = 2$ differenzierbar?

f

ist bei

2

stetig

Kein Sprung und keine Lücke bei 2.

Steigung

-1

links und

1

rechts

Die beiden Terme sind 1 − (x − 2) und 1 + (x − 2).

f

ist bei

x = 2

nicht differenzierbar: Knickstelle

Die Steigungen sind verschieden.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x^2$ für $x \leq 1$ und $f(x) = 2x - 1$ für $x > 1$ .

Sie treffen sich in

(1|1)

Beide Terme ergeben 1 bei x = 1.

Steigung links:

2

; rechts:

2

. Also ist

f

bei

1

differenzierbar

Die Steigung von x² bei 1 ist 2 · 1.

Üben ★

Ist $f(x) = |x - -1|$ an der Stelle $x = -1$ differenzierbar?
1. Nein: Der Graph hat einen Knick (Steigungen $-1$ und $1$ ).
2. Ja, weil $f$ bei $x = -1$ stetig ist.
3. Nein, weil $f$ bei $x = -1$ nicht stetig ist.
Ist $f(x) = |x - 1|$ an der Stelle $x = 1$ differenzierbar?
1. Nein: Der Graph hat einen Knick (Steigungen $-1$ und $1$ ).
2. Ja, weil $f$ bei $x = 1$ stetig ist.
3. Nein, weil $f$ bei $x = 1$ nicht stetig ist.

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = x^2$ für $x \leq 4$ und $f(x) = mx - 16$ für $x > 4$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 4$ differenzierbar?
$f(x) = x^2$ für $x \leq 5$ und $f(x) = mx - 25$ für $x > 5$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 5$ differenzierbar?
$f(x) = x^2$ für $x \leq 6$ und $f(x) = mx - 36$ für $x > 6$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 6$ differenzierbar?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = x^2$ für $x \leq 4$ und $f(x) = mx - 16$ für $x > 4$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 4$ differenzierbar?
$f(x) = x^2$ für $x \leq 5$ und $f(x) = mx - 25$ für $x > 5$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 5$ differenzierbar?
$f(x) = x^2$ für $x \leq 6$ und $f(x) = mx - 36$ für $x > 6$ . Für welches $m$ ist $f$ an der Stelle $x = 6$ differenzierbar?

Merkkarte

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Differenzierbar $\Rightarrow$ stetig; die Umkehrung ist falsch.
Keine Ableitung: Knick, senkrechte Tangente, Lücke oder Sprung.

Achtung: Ein Graph ohne Lücke hat nicht immer eine Tangente.

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