Die Tangente

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Die blaue Gerade ist die Tangente an $y = x^2$ bei $x = a$ . Verschiebe $a$ .

Die Parabel y = x² und ihre Tangente bei x = a, die den Graphen in (a|a²) mit der Steigung 2a berührt.

Bei $a = 1$ hat die Tangente die Steigung 2 und berührt den Graphen in $(1|1)$ . Wie lautet ihre Gleichung?

Die Tangente berührt den Graphen im Punkt $(a|f(a))$ mit der Steigung $f'(a)$ .

Die Tangente an den Graphen von

f

an der Stelle

a

hat die Gleichung

y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)

.

$f(2) = 5$ und $f'(2) = -3$ . Gib die Tangente bei $x = 2$ an.

y = 5 + (-3)(x - 2)

Der Punkt (2|5) und die Steigung −3.

y = -3x + 11

Ausmultiplizieren.

Jetzt du: $f(4) = 1$ und $f'(4) = 2$ .

y = 1 + 2(x - 4)

Punkt (4|1), Steigung 2.

y = 2x - 7

Ausmultiplizieren: 2x − 8 + 1.

Für $f(x) = x^2$ gilt $f'(x) = 2x$ . Zeichne die Tangente an den Graphen bei $x = 1$ : Setze zwei Punkte auf sie.
Für $f(x) = x^2$ gilt $f'(x) = 2x$ . Zeichne die Tangente an den Graphen bei $x = -2$ : Setze zwei Punkte auf sie.

$f(1) = 2$ und $f'(1) = 3$ . Gib die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x = 1$ an: Trage die rechte Seite von $y = \ldots$ ein.
$f(2) = -5$ und $f'(2) = 3$ . Gib die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x = 2$ an: Trage die rechte Seite von $y = \ldots$ ein.

Für $f(x) = x^3$ vereinfacht sich der Differenzenquotient bei $x = -3$ zu $27 + -9h + h^2$ . Welche Steigung hat die Tangente bei $x = -3$ ?
Für $f(x) = x^3$ vereinfacht sich der Differenzenquotient bei $x = -2$ zu $12 + -6h + h^2$ . Welche Steigung hat die Tangente bei $x = -2$ ?

Abschlussaufgabe. $f(x) = x^2 - 4x$ . Bestimme mit der Definition die Tangente an den Graphen bei $x = 5$ .

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(1) = 2$ und $f'(1) = 3$ . Gib die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x = 1$ an: Trage die rechte Seite von $y = \ldots$ ein.
$f(2) = -5$ und $f'(2) = 3$ . Gib die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x = 2$ an: Trage die rechte Seite von $y = \ldots$ ein.
$f(1) = -4$ und $f'(1) = -3$ . Gib die Tangente an den Graphen von $f$ bei $x = 1$ an: Trage die rechte Seite von $y = \ldots$ ein.

Tangente

Achtung: $y = f'(a) \cdot x$ verfehlt meist den Punkt.

Über diese Lektion