Die Ableitungsfunktion

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Die violette Kurve ist der Graph von $y = x^3 - 3x$ . Die blaue Gerade ist seine Tangente bei $x = a$ . Verschiebe $a$ von $-2$ bis $2$ und beobachte die Steigung.

Der Graph von y = x³ − 3x und seine Tangente bei x = a. Die Tangente ist bei x = −1 und x = 1 waagrecht, fällt dazwischen und steigt außerhalb.

Zwischen $x = -1$ und $x = 1$ fällt der Graph. Welches Vorzeichen hat die Steigung?

Negativ
Positiv

Die Grundidee

Berechnet man $f'(a)$ für jedes $a$ , erhält man eine neue Funktion.

Die Ableitungsfunktion ist

f'\colon x \mapsto f'(x)

. Wo

f

steigt, gilt

f'(x) \geq 0

; wo

f

fällt, gilt

f'(x) \leq 0

; wo die Tangente waagrecht ist, gilt

f'(x) = 0

.

Beispiel

$f(x) = x^2 - 4x$ . Bestimme $f'(x)$ .

f(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 - 4h

Ausmultiplizieren und x² − 4x abziehen.

\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h - 4

Durch h ≠ 0 teilen.

f'(x) = 2x - 4

h gegen 0. Probe: f' = 0 bei x = 2, im Scheitel.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x^2 + 6x$ .

\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h + 6

Dieselben Schritte.

f'(x) = 2x + 6

h gegen 0.

Üben ★

Hier ist der Graph von $y = f(x)$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, an dem $f'(x) = 0$ ist.
Hier ist der Graph von $y = f(x)$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, an dem $f'(x) = 0$ ist.

$f(x) = (x - 3)^2 + 3$ , eine Parabel mit dem Scheitel $(3|3)$ . Kreuze alle wahren Aussagen an.
1. $f'(3) = 0$
2. $f'(x) < 0$ für $x < 3$
3. $f'(x) > 0$ für $x > 3$
4. $f'(3) = 3$
5. $f'(x) > 0$ für alle $x$ , weil $f(x) > 0$

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = 3x^2 + 8x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .
$f(x) = 3x^2 + 5x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .
$f(x) = 5x^2 + 2x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 3x^2 + 8x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .
$f(x) = 3x^2 + 5x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .
$f(x) = 5x^2 + 2x$ . Berechne $f'(x)$ mit $f'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}$ .

Merkkarte

Ableitungsfunktion

$f'(x)$ ist die Steigung der Tangente bei $x$ .
$f$ steigt: $f' \geq 0$ . $f$ fällt: $f' \leq 0$ .

Achtung: $f' = 0$ (waagrechte Tangente) ist nicht $f = 0$ (auf der Achse).

Über diese Lektion