Potenz-, Faktor- und Summenregel

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 11 › Grundlagen der Differentialrechnung: die Ableitung

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Potenz-, Faktor- und Summenregel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Aus der Definition folgt (x2)′=2x(x^2)' = 2x und (x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2. Vermute: Was ist (x4)′(x^4)'?

  1. 4x34x^3
  2. x3x^3

Die Grundidee

Diese Regeln ersetzen die Grenzwertrechnung.

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n - 1} für ganze Zahlen nn; (1x)′=−1x2\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}; (x)′=12x(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} für x>0x > 0.

(k⋅f)′=k⋅f′(k \cdot f)' = k \cdot f'; (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'; die Ableitung einer Konstanten ist 0.

Beispiel

f(x)=5x3−2x+7f(x) = 5x^3 - \dfrac{2}{x} + 7. Bestimme f′(x)f'(x).

f(x)=5x3−2x−1+7f(x) = 5x^3 - 2x^{-1} + 7
Den Bruch als Potenz schreiben.
f′(x)=15x2+2x−2f'(x) = 15x^2 + 2x^{-2}
Summandenweise; die Konstante 7 ergibt 0.
f′(x)=15x2+2x2f'(x) = 15x^2 + \dfrac{2}{x^2}
Wieder als Bruch schreiben.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=4x5+3x−9f(x) = 4x^5 + 3x - 9.

f′(x)=20x4+3f'(x) = 20x^4 + 3
20x⁴, 3 und 0.

Üben ★

  1. f(x)=8x5+3xf(x) = 8x^{ 5 } + 3x. Bestimme f′(x)f'(x).
  2. f(x)=4x3+6xf(x) = 4x^{ 3 } + 6x. Bestimme f′(x)f'(x).
  3. f(x)=6x5+5xf(x) = 6x^{ 5 } + 5x. Bestimme f′(x)f'(x).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f(x)=6x2f(x) = \dfrac{ 6 }{x^{ 2 } }. Bestimme f′(x)f'(x).
  2. f(x)=9x3f(x) = \dfrac{ 9 }{x^{ 3 } }. Bestimme f′(x)f'(x).
  1. f(x)=3x+8f(x) = 3\sqrt{x} + 8. Bestimme f′(x)f'(x) für x>0x > 0.
  2. f(x)=5x+4f(x) = 5\sqrt{x} + 4. Bestimme f′(x)f'(x) für x>0x > 0.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. f(x)=8x5+3xf(x) = 8x^{ 5 } + 3x. Bestimme f′(x)f'(x).
  2. f(x)=4x3+6xf(x) = 4x^{ 3 } + 6x. Bestimme f′(x)f'(x).
  3. f(x)=6x5+5xf(x) = 6x^{ 5 } + 5x. Bestimme f′(x)f'(x).

Merkkarte

Ableitungsregeln

  • (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n - 1}; Wurzeln und Brüche zuerst als Potenzen schreiben.
  • Konstante Faktoren bleiben stehen; Summen werden summandenweise abgeleitet.

Achtung: Bei negativem Exponenten ist −2−1=−3-2 - 1 = -3.

Ende der Lektion

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Lösungen: Potenz-, Faktor- und Summenregel

A

  1. 40x4+340 x^{4} + 3
  2. 12x2+612 x^{2} + 6
  3. 30x4+530 x^{4} + 5

B

  1. −12x3- \frac{12}{x^{3}}
  2. −27x4- \frac{27}{x^{4}}

C

  1. 32x\frac{3}{2 \sqrt{x}}
  2. 52x\frac{5}{2 \sqrt{x}}

D

  1. 40x4+340 x^{4} + 3
  2. 12x2+612 x^{2} + 6
  3. 30x4+530 x^{4} + 5

CC BY-SA 4.0