Mittlere Änderungsrate; wo eine Funktion steigt oder fällt

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Jahrgangsstufe 11 › Grundlagen der Differentialrechnung: die Ableitung

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Mittlere Änderungsrate; wo eine Funktion steigt oder fällt

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Ein Auto fährt 120 km in 2 Stunden. Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit?

  1. 60 km pro Stunde
  2. 160\tfrac{1}{60} Stunde pro km
  3. 120 km pro Stunde

Die Grundidee

Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie schnell sich der Funktionswert pro Einheit von xx ändert.

Die mittlere Änderungsrate von ff auf [a;b][a; b] ist der Differenzenquotient f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}, die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte des Graphen.

ff ist auf einem Intervall streng monoton steigend, wenn der Graph dort von links nach rechts steigt, und streng monoton fallend, wenn er fällt.

Beispiel

Bestimme die mittlere Änderungsrate von f(x)=x2f(x) = x^2 auf [1;4][1; 4].

f(4)−f(1)=16−1=15f(4) - f(1) = 16 - 1 = 15
Änderung des Funktionswerts.
4−1=34 - 1 = 3
Änderung von x.
Rate =153=5= \dfrac{15}{3} = 5
Teilen: Änderung pro Einheit von x.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=2x2f(x) = 2x^2 auf [0;3][0; 3].

f(3)−f(0)=18f(3) - f(0) = 18
f(3) = 18, f(0) = 0.
Änderung von xx: 33
3 − 0.
Rate =6= 6
18 : 3.

Üben ★

  1. Bestimme die mittlere Änderungsrate von f(x)=3x2f(x) = 3x^2 auf [0;6][0; 6].
  2. Bestimme die mittlere Änderungsrate von f(x)=4x2f(x) = 4x^2 auf [1;5][1; 5].
  3. Bestimme die mittlere Änderungsrate von f(x)=1x2f(x) = 1x^2 auf [1;6][1; 6].
  4. Bestimme die mittlere Änderungsrate von f(x)=1x2f(x) = 1x^2 auf [1;4][1; 4].

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Tank enthält zur Zeit 0 genau 16 Liter und nach 5 Minuten 6161 Liter. Wie groß ist die mittlere Änderungsrate des Volumens in Liter pro Minute?
  2. Ein Tank enthält zur Zeit 0 genau 29 Liter und nach 4 Minuten 4949 Liter. Wie groß ist die mittlere Änderungsrate des Volumens in Liter pro Minute?
  3. Ein Tank enthält zur Zeit 0 genau 12 Liter und nach 6 Minuten 3636 Liter. Wie groß ist die mittlere Änderungsrate des Volumens in Liter pro Minute?
  1. f(x)=−(x−5)2+8f(x) = -(x - 5)^2 + 8. Auf welchem Intervall ist ff streng monoton steigend?
    1. ]−∞;5]]-\infty; 5]
    2. [5;∞[[5; \infty[
    3. ]−∞;8]]-\infty; 8]
  2. f(x)=−(x−1)2+7f(x) = -(x - 1)^2 + 7. Auf welchem Intervall ist ff streng monoton steigend?
    1. ]−∞;1]]-\infty; 1]
    2. [1;∞[[1; \infty[
    3. ]−∞;7]]-\infty; 7]
  3. f(x)=−(x−3)2+2f(x) = -(x - 3)^2 + 2. Auf welchem Intervall ist ff streng monoton steigend?
    1. ]−∞;3]]-\infty; 3]
    2. [3;∞[[3; \infty[
    3. ]−∞;2]]-\infty; 2]

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme die mittlere Änderungsrate von f(x)=3x2f(x) = 3x^2 auf [0;6][0; 6].
  2. Bestimme die mittlere Änderungsrate von f(x)=4x2f(x) = 4x^2 auf [1;5][1; 5].
  3. Bestimme die mittlere Änderungsrate von f(x)=1x2f(x) = 1x^2 auf [1;6][1; 6].

Merkkarte

Mittlere Änderungsrate

  • Auf [a;b][a; b]: f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}, Änderung von ff durch Änderung von xx.
  • Steigend: Der Graph steigt von links nach rechts.
  • Monotonieintervalle mit xx-Werten angeben.

Achtung: Änderung von f(x)f(x) oben, Änderung von xx unten.

Ende der Lektion

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Lösungen: Mittlere Änderungsrate; wo eine Funktion steigt oder fällt

A

  1. 1818
  2. 2424
  3. 77
  4. 55

B

  1. 99
  2. 55
  3. 44

C

  1. ]−∞;5]]-\infty; 5]
  2. ]−∞;1]]-\infty; 1]
  3. ]−∞;3]]-\infty; 3]

D

  1. 1818
  2. 2424
  3. 77

CC BY-SA 4.0