Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Jahrgangsstufe 11 › Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Von 100 Schülerinnen und Schülern lernen 40 Französisch; 10 davon lernen auch Spanisch. Wie groß ist unter den Französischlernenden die Wahrscheinlichkeit, Spanisch zu lernen?

  1. 1040\tfrac{10}{40}
  2. 10100\tfrac{10}{100}

Die Grundidee

Eine Bedingung verkleinert die Ergebnismenge.

PB(A)=P(A∩B)P(B)P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}: die Wahrscheinlichkeit von AA unter den Ergebnissen in BB. Im Allgemeinen ist PB(A)≠PA(B)P_B(A) \neq P_A(B).

Beispiel

P(Regen) = 0,3, P(Verspätung) = 0,2, P(Regen und Verspätung) = 0,12.

PRegen(Verspa¨tung)=0,120,3=0,4P_{\text{Regen}}(\text{Verspätung}) = \tfrac{0{,}12}{0{,}3} = 0{,}4
Durch P(Regen) teilen.
PVerspa¨tung(Regen)=0,120,2=0,6P_{\text{Verspätung}}(\text{Regen}) = \tfrac{0{,}12}{0{,}2} = 0{,}6
Durch P(Verspätung) teilen.
Zwei verschiedene Zahlen
Verschiedene Bedingungen.

Du bist dran

Jetzt du: P(A ∩ B) = 0,1, P(B) = 0,4. Bestimme P_B(A).

0,250{,}25
0,1 : 0,4.

Üben ★

  1. P(A) = 0,60, P(B) = 0,22 und P(A ∩ B) = 0,5. Bestimme P_B(A).
  2. P(A) = 0,55, P(B) = 0,33 und P(A ∩ B) = 0,13. Bestimme P_B(A).
  1. Ein Suchtest wurde bei 316 Personen gemacht: 47 waren krank und positiv getestet, 8 krank und negativ, 34 gesund und positiv, 227 gesund und negativ. Bestimme P_positiv(krank).
  2. Ein Suchtest wurde bei 256 Personen gemacht: 33 waren krank und positiv getestet, 7 krank und negativ, 21 gesund und positiv, 195 gesund und negativ. Bestimme P_positiv(krank).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Test erkennt eine Krankheit bei 87 % der Erkrankten. Welche Aussage bedeutet dasselbe?
    1. P_krank(positiv) = 0,87
    2. P_positiv(krank) = 0,87
    3. P(krank ∩ positiv) = 0,87

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Suchtest wurde bei 316 Personen gemacht: 47 waren krank und positiv getestet, 8 krank und negativ, 34 gesund und positiv, 227 gesund und negativ. Bestimme P_positiv(krank).
  2. Ein Suchtest wurde bei 256 Personen gemacht: 33 waren krank und positiv getestet, 7 krank und negativ, 21 gesund und positiv, 195 gesund und negativ. Bestimme P_positiv(krank).
  3. Ein Suchtest wurde bei 239 Personen gemacht: 57 waren krank und positiv getestet, 3 krank und negativ, 29 gesund und positiv, 150 gesund und negativ. Bestimme P_positiv(krank).

Merkkarte

Bedingte Wahrscheinlichkeit

PB(A)=P(A∩B):P(B)P_B(A) = P(A \cap B) : P(B).

Achtung: PB(A)P_B(A) und PA(B)P_A(B) sind verschieden.

Ende der Lektion

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Lösungen: Bedingte Wahrscheinlichkeit

A

  1. 522\frac{5}{22}
  2. 1333\frac{13}{33}

B

  1. 4781\frac{47}{81}
  2. 1118\frac{11}{18}

C

  1. P_krank(positiv) = 0,87

D

  1. 4781\frac{47}{81}
  2. 1118\frac{11}{18}
  3. 5786\frac{57}{86}

CC BY-SA 4.0