Unabhängigkeit und Multiplikationssatz

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Aus einem Kartenspiel mit 52 Karten wird eine Karte gezogen. Ändert das Wissen, dass sie Herz ist, die Wahrscheinlichkeit für einen König?

Unabhängige Ereignisse beeinflussen sich nicht.

A

und

B

sind stochastisch unabhängig, wenn

P_B(A) = P(A)

gilt, gleichbedeutend

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

. Allgemein gilt

P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)

. Ziehen ohne Zurücklegen ist abhängig.

Zwei Karten ohne Zurücklegen: P(zwei Asse).

P(\text{Ass}) = \tfrac{4}{52}

Erster Zug.

P_{\text{Ass}}(\text{Ass}) = \tfrac{3}{51}

Noch 3 Asse unter 51 Karten.

\tfrac{4}{52} \cdot \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Multiplizieren.

Jetzt du: zwei unabhängige Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten 0,5 und 0,3. P(beide).

0{,}15

0,5 · 0,3.

Zwei unabhängige Maschinen fallen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,8 und 0,7 aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausfallen.
Zwei unabhängige Maschinen fallen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,7 und 0,4 aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausfallen.

P(A) = 3/10, P(B) = 6/10 und P(A ∩ B) = 18/100. Sind A und B unabhängig?
1. Ja: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
2. Nein, weil P(A ∩ B) > 0
3. Das lässt sich nicht entscheiden

In einem Beutel sind 5 rote und 3 blaue Kugeln. Zwei werden ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme P(beide rot).
In einem Beutel sind 6 rote und 7 blaue Kugeln. Zwei werden ohne Zurücklegen gezogen. Bestimme P(beide rot).

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Zwei unabhängige Maschinen fallen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,8 und 0,7 aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausfallen.
Zwei unabhängige Maschinen fallen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,7 und 0,4 aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausfallen.
Zwei unabhängige Maschinen fallen mit den Wahrscheinlichkeiten 0,3 und 0,5 aus. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide ausfallen.

Unabhängigkeit

Achtung: Ohne Zurücklegen die zweite Wahrscheinlichkeit anpassen.

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