Transformationen: Verschiebungen und Spiegelungen

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Jahrgangsstufe 11 › Spezielle Eigenschaften von Funktionen

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Transformationen: Verschiebungen und Spiegelungen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Bewege die Schieberegler und beobachte den Graphen von y=(x−h)2+ky = (x - h)^2 + k.

Der Graph von y = (x − h)² + k, eine Parabel mit dem Scheitel (h|k), der sich mit den Reglern bewegt.

Wenn hh von 0 auf 2 wächst, in welche Richtung bewegt sich der Graph?

  1. Nach rechts
  2. Nach links

Die Grundidee

Änderungen am Funktionsterm verschieben oder spiegeln den Graphen, ohne seine Form zu ändern.

y=f(x−h)+ky = f(x - h) + k verschiebt den Graphen von ff um hh nach rechts und um kk nach oben. y=−f(x)y = -f(x) spiegelt ihn an der xx-Achse, y=f(−x)y = f(-x) an der yy-Achse.

Eine Änderung innerhalb von f(… )f(\dots) wirkt auf xx (waagrecht), eine Änderung außerhalb auf yy (senkrecht).

Beispiel

Beschreibe y=(x+1)2−3y = (x + 1)^2 - 3 im Vergleich zu y=x2y = x^2.

um 1 nach links
x + 1 = x − (−1): h = −1.
um 3 nach unten
− 3 außerhalb: k = −3.
Scheitel: (−1∣−3)(-1|-3)
Der Scheitel (0|0) wandert mit.

Du bist dran

Jetzt du: y=(x−4)2+2y = (x - 4)^2 + 2.

um 4 nach rechts
x − 4: h = 4.
um 2 nach oben
+ 2 außerhalb.
Der Scheitel liegt bei x=4x = 4
Der Scheitel wandert von x = 0 nach x = …

Üben ★

  1. Der Graph von y=x2y = x^2 wird um 1 nach rechts und um 6 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.
  2. Der Graph von y=x2y = x^2 wird um 3 nach rechts und um 1 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.
  3. Der Graph von y=x2y = x^2 wird um 4 nach rechts und um 6 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.
  4. Der Graph von y=x2y = x^2 wird um 7 nach rechts und um 1 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Zeichne den Graphen von y=(x−1)2−3y = (x - 1)^2 - 3: Setze den Scheitel und einen weiteren Punkt.
  2. Zeichne den Graphen von y=(x−1)2−1y = (x - 1)^2 - 1: Setze den Scheitel und einen weiteren Punkt.
  1. Ordne jeder Gleichung zu, was sie mit dem Graphen von y=f(x)y = f(x) macht.
    1. y=f(x)+3y = f(x) + 3
    2. y=f(x−3)y = f(x - 3)
    3. y=−f(x)y = -f(x)
    4. y=f(−x)y = f(-x)
    1. Verschiebung um 3 nach oben
    2. Verschiebung um 3 nach rechts
    3. Spiegelung an der x-Achse
    4. Spiegelung an der y-Achse

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Der Graph von y=x2y = x^2 wird um 1 nach rechts und um 6 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.
  2. Der Graph von y=x2y = x^2 wird um 3 nach rechts und um 1 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.
  3. Der Graph von y=x2y = x^2 wird um 4 nach rechts und um 6 nach unten verschoben. Gib die Gleichung des neuen Graphen an.

Merkkarte

Verschieben und Spiegeln

  • f(x−h)f(x - h): um hh nach rechts. f(x)+kf(x) + k: um kk nach oben.
  • −f(x)-f(x): Spiegelung an der xx-Achse. f(−x)f(-x): Spiegelung an der yy-Achse.
  • Innerhalb von f(… )f(\dots) wirkt auf xx, außerhalb auf yy.

Achtung: f(x+3)f(x + 3) verschiebt den Graphen nach links.

Ende der Lektion

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Lösungen: Transformationen: Verschiebungen und Spiegelungen

A

  1. (x−1)2−6\left(x - 1\right)^{2} - 6
  2. (x−3)2−1\left(x - 3\right)^{2} - 1
  3. (x−4)2−6\left(x - 4\right)^{2} - 6
  4. (x−7)2−1\left(x - 7\right)^{2} - 1

B

  1. y=(x−1)2−3y = \left(x - 1\right)^{2} - 3
  2. y=(x−1)2−1y = \left(x - 1\right)^{2} - 1

C

  1. y=f(x)+3y = f(x) + 3 → Verschiebung um 3 nach oben · y=f(x−3)y = f(x - 3) → Verschiebung um 3 nach rechts · y=−f(x)y = -f(x) → Spiegelung an der x-Achse · y=f(−x)y = f(-x) → Spiegelung an der y-Achse

D

  1. (x−1)2−6\left(x - 1\right)^{2} - 6
  2. (x−3)2−1\left(x - 3\right)^{2} - 1
  3. (x−4)2−6\left(x - 4\right)^{2} - 6

CC BY-SA 4.0