Streckungen und Stauchungen; gerade und ungerade Funktionen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Bewege den Regler und beobachte den Graphen von $y = (bx)^2$ .

Der Graph von y = (bx)², eine Parabel, die schmaler wird, wenn b wächst.

Wenn $b$ von 1 auf 2 wächst, wird der Graph …

schmaler
breiter

Die Grundidee

Multiplizieren streckt oder staucht einen Graphen. Symmetrie hat einen Namen.

Für

a > 1

streckt

y = a \cdot f(x)

den Graphen in

y

-Richtung mit dem Faktor

a

. Für

b > 1

staucht

y = f(bx)

ihn in

x

-Richtung mit dem Faktor

\dfrac{1}{b}

. Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn

f(-x) = f(x)

, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn

f(-x) = -f(x)

.

Beispiel

Ist der Graph von $f(x) = x^3 - 2x$ achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder keins von beiden?

f(-x) = (-x)^3 - 2(-x)

x durch (−x) ersetzen.

= -x^3 + 2x

(−x)³ = −x³ und −2(−x) = 2x.

= -(x^3 - 2x) = -f(x)

: punktsymmetrisch

−1 ausklammern: Das ist −f(x).

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x^4 + 3$ . Prüfe einen Wert.

f(-1) = (-1)^4 + 3

x durch −1 ersetzen.

f(-1) = 4

(−1)⁴ = 1. Es ist gleich f(1): ein Hinweis auf Achsensymmetrie.

Üben ★

Wie verhält sich der Graph von $y = f(4x)$ zum Graphen von $y = f(x)$ ?
1. Er wird zur y-Achse hin gestaucht: Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1/4
2. Er wird von der y-Achse weg gestreckt: Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 4
3. Er wird in y-Richtung mit dem Faktor 4 gestreckt
Wie verhält sich der Graph von $y = f(5x)$ zum Graphen von $y = f(x)$ ?
1. Er wird zur y-Achse hin gestaucht: Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1/5
2. Er wird von der y-Achse weg gestreckt: Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 5
3. Er wird in y-Richtung mit dem Faktor 5 gestreckt
Wie verhält sich der Graph von $y = f(3x)$ zum Graphen von $y = f(x)$ ?
1. Er wird zur y-Achse hin gestaucht: Stauchung in x-Richtung mit dem Faktor 1/3
2. Er wird von der y-Achse weg gestreckt: Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 3
3. Er wird in y-Richtung mit dem Faktor 3 gestreckt

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = 8x^3 - 9x$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden
$f(x) = 9x^3 - 2x$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden

$f(x) = 3x^4 - 8x^2 + 7$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden
$f(x) = 5x^4 - 1x^2 + 9$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 8x^3 - 9x$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden
$f(x) = 9x^3 - 2x$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden
$f(x) = 7x^3 - 1x$ . Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keins von beiden?
1. Achsensymmetrisch zur y-Achse
2. Punktsymmetrisch zum Ursprung
3. Keins von beiden

Merkkarte

Strecken und Symmetrie

$a \cdot f(x)$ : Streckung in $y$ -Richtung mit $a$ . $f(bx)$ : Stauchung in $x$ -Richtung.
Achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$ .
Punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$ .

Achtung: $f(-x)$ ausrechnen; die Vorzeichen der Koeffizienten entscheiden nicht.

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