Grenzwerte im Unendlichen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Was passiert mit $\dfrac{1}{x}$ , wenn $x$ sehr groß wird: $\dfrac{1}{10}, \dfrac{1}{100}, \dfrac{1}{1000}, \dots$ ?

Es nähert sich 0
Es hat keinen Grenzwert, weil es 0 nie erreicht

Die Grundidee

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = a$ bedeutet, dass $f(x)$ der Zahl $a$ beliebig nahe kommt, wenn $x$ groß wird. Die Gerade $y = a$ ist dann eine waagrechte Asymptote des Graphen.

Bei einem Quotienten ganzrationaler Terme klammert man oben und unten die höchste Potenz aus. Zählergrad kleiner: Grenzwert 0. Grade gleich: Quotient der Leitkoeffizienten. Zählergrad größer: kein endlicher Grenzwert.

Beispiel

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{6x^2 - x}{2x^2 + 5}$ .

\dfrac{6 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{5}{x^2}}

Oben und unten x² ausklammern und kürzen.

Der Quotient geht gegen

\dfrac{6}{2}

1/x und 5/x² gehen gegen 0.

Der Grenzwert ist

3

Kürzen.

Du bist dran

Jetzt du: $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x + 1}{2x - 7}$ .

Quotient der Leitkoeffizienten:

\dfrac{4}{2}

Gleicher Grad oben und unten.

Der Grenzwert ist

2

4 : 2.

Üben ★

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 4x^2 + 1}{ 5x^2 + 4}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 2x^2 + 1}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 5x^2 + 4}$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 6x + 3}{x^2 + 2}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 9x + 6}{x^2 + 6}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 7x + 6}{x^2 + 1}$ .

Wie verhält sich $\dfrac{ 5x^3}{x^2 + 5}$ für $x \to +\infty$ ?
1. Es geht gegen $+\infty$ : Der Quotient wächst unbegrenzt
2. $5$
3. $0$
Wie verhält sich $\dfrac{ 2x^3}{x^2 + 2}$ für $x \to +\infty$ ?
1. Es geht gegen $+\infty$ : Der Quotient wächst unbegrenzt
2. $2$
3. $0$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 4x^2 + 1}{ 5x^2 + 4}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 2x^2 + 1}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{ 3x^2 + 4}{ 5x^2 + 4}$ .

Merkkarte

Grenzwerte im Unendlichen

Die höchste Potenz ausklammern.
Zählergrad kleiner: 0. Gleich: Quotient der Leitkoeffizienten. Größer: $\pm\infty$ .
Ein endlicher Grenzwert $a$ liefert die Asymptote $y = a$ .

Achtung: Für $x \to \infty$ entscheiden nicht die Konstanten.

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