Einseitige Grenzwerte

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Parkhaus kostet bis zu 1 Stunde 5 Euro und darüber 9 Euro. Nähert sich die Zeit von unten 1 Stunde, kostet es 5 Euro, von oben 9 Euro. Nähert sich der Preis bei 1 Stunde einer einzigen Zahl?

Nein: von links 5, von rechts 9
Ja: 5

Die Grundidee

Man kann sich $a$ auch nur von einer Seite nähern.

Der linksseitige Grenzwert

\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x)

verwendet

x < a

, der rechtsseitige

\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x)

verwendet

x > a

. Der Grenzwert existiert genau dann, wenn beide existieren und gleich sind.

Beispiel

$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{für } x < 1 \\ 3 - x & \text{für } x \geq 1 \end{cases}$ . Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ .

\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1

x < 1: x² verwenden.

\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2

x > 1: 3 − x verwenden.

Der Grenzwert existiert nicht

1 ≠ 2.

Du bist dran

Jetzt du: dieselbe Idee mit $g(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{für } x < 2 \\ 3x & \text{für } x \geq 2 \end{cases}$ .

\displaystyle\lim_{x \to 2^-} g(x) = 6

Links: 2 + 4.

\displaystyle\lim_{x \to 2^+} g(x) = 6

, also existiert der Grenzwert und ist 6

Rechts: 3 · 2.

Üben ★

$f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{für } x < 2 \\ 2x & \text{für } x \geq 2 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} x + 7 & \text{für } x < 4 \\ 2x & \text{für } x \geq 4 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{für } x < 5 \\ 3x & \text{für } x \geq 5 \end{cases}$

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \begin{cases} x + 6 & \text{für } x < 5 \\ 2x & \text{für } x \geq 5 \end{cases}$ . Wie groß ist $\displaystyle\lim_{x \to 5} f(x)$ ?
1. Er existiert nicht: Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind verschieden
2. $11$
3. $10$
$f(x) = \begin{cases} x + 7 & \text{für } x < 3 \\ 4x & \text{für } x \geq 3 \end{cases}$ . Wie groß ist $\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x)$ ?
1. Er existiert nicht: Links- und rechtsseitiger Grenzwert sind verschieden
2. $10$
3. $12$

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|3x|}{x}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|5x|}{x}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|8x|}{x}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|3x|}{x}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|5x|}{x}$ .
Bestimme $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|8x|}{x}$ .

Merkkarte

Einseitige Grenzwerte

$x \to a^-$ : von links; $x \to a^+$ : von rechts.
Der Grenzwert existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen.

Achtung: Eine Seite allein ist noch nicht der Grenzwert.

Über diese Lektion