Uneigentliche Grenzwerte und senkrechte Asymptoten

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Jahrgangsstufe 11 › Gebrochen-rationale Funktionen

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Uneigentliche Grenzwerte und senkrechte Asymptoten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Was passiert mit 1x\dfrac{1}{x}, wenn xx von rechts gegen 0 geht: 10,1,10,01,…\dfrac{1}{0{,}1}, \dfrac{1}{0{,}01}, \dots?

  1. Es wächst unbegrenzt
  2. Es nähert sich 0

Die Grundidee

In der Nähe einer Nullstelle des Nenners kann ein Quotient sehr groß werden.

Wächst f(x)f(x) unbegrenzt, wenn xx von rechts oder von links gegen aa geht, schreibt man lim⁡f(x)=+∞\lim f(x) = +\infty (oder −∞-\infty): Die Gerade x=ax = a ist eine senkrechte Asymptote (Polstelle). Für das Vorzeichen setzt man einen Wert knapp rechts oder links von aa ein.

Beispiel

Bestimme lim⁡x→3x<32x−3\displaystyle\lim_{\substack{x \to 3 \\ x < 3}} \dfrac{2}{x - 3}.

x−3x - 3 ist eine kleine negative Zahl.
Knapp links von 3, zum Beispiel x = 2,99.
Der Quotient ist groß und negativ.
2 durch diese Zahl teilen.
Der Grenzwert ist −∞-\infty
Den Grenzwert notieren.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=x+1x2−16f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 - 16}. Wo liegen die senkrechten Asymptoten?

x=4x = 4 oder x=−4x = -4
x² − 16 = 0.
Asymptoten x=4x = 4 und x=−4x = -4
Der Zähler ist dort nicht 0. Gib den negativen Wert ein.

Üben ★

  1. Wie verhält sich 7x−6\dfrac{ 7 }{x - 6}, wenn xx von rechts gegen 66 geht (x>6x > 6)?
    1. Es geht gegen +∞+\infty
    2. Es geht gegen −∞-\infty
    3. Es geht gegen 00
  2. Wie verhält sich 4x−3\dfrac{ 4 }{x - 3}, wenn xx von rechts gegen 33 geht (x>3x > 3)?
    1. Es geht gegen +∞+\infty
    2. Es geht gegen −∞-\infty
    3. Es geht gegen 00
  3. Wie verhält sich 6x−7\dfrac{ 6 }{x - 7}, wenn xx von rechts gegen 77 geht (x>7x > 7)?
    1. Es geht gegen +∞+\infty
    2. Es geht gegen −∞-\infty
    3. Es geht gegen 00

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Wie verhält sich 6x−8\dfrac{ 6 }{x - 8}, wenn xx von links gegen 88 geht (x<8x < 8)?
    1. Es geht gegen +∞+\infty
    2. Es geht gegen −∞-\infty
    3. Es geht gegen 00
  2. Wie verhält sich 7x−2\dfrac{ 7 }{x - 2}, wenn xx von links gegen 22 geht (x<2x < 2)?
    1. Es geht gegen +∞+\infty
    2. Es geht gegen −∞-\infty
    3. Es geht gegen 00
  3. Wie verhält sich 9x−5\dfrac{ 9 }{x - 5}, wenn xx von links gegen 55 geht (x<5x < 5)?
    1. Es geht gegen +∞+\infty
    2. Es geht gegen −∞-\infty
    3. Es geht gegen 00
  1. f(x)=x+8x2−9f(x) = \dfrac{x + 8}{x^2 - 9} hat senkrechte Asymptoten. Für welchen positiven Wert cc ist x=cx = c eine Asymptote?
  2. f(x)=x+4x2−4f(x) = \dfrac{x + 4}{x^2 - 4} hat senkrechte Asymptoten. Für welchen positiven Wert cc ist x=cx = c eine Asymptote?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie verhält sich 6x−8\dfrac{ 6 }{x - 8}, wenn xx von links gegen 88 geht (x<8x < 8)?
    1. Es geht gegen +∞+\infty
    2. Es geht gegen −∞-\infty
    3. Es geht gegen 00
  2. Wie verhält sich 7x−2\dfrac{ 7 }{x - 2}, wenn xx von links gegen 22 geht (x<2x < 2)?
    1. Es geht gegen +∞+\infty
    2. Es geht gegen −∞-\infty
    3. Es geht gegen 00
  3. Wie verhält sich 9x−5\dfrac{ 9 }{x - 5}, wenn xx von links gegen 55 geht (x<5x < 5)?
    1. Es geht gegen +∞+\infty
    2. Es geht gegen −∞-\infty
    3. Es geht gegen 00

Merkkarte

Unendliche Grenzwerte

  • Nenner → 0, Zähler nicht 0: ±∞\pm\infty, senkrechte Asymptote.
  • Für das Vorzeichen einen Wert knapp neben aa einsetzen.

Achtung: Links und rechts der Asymptote können die Vorzeichen verschieden sein.

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Lösungen: Uneigentliche Grenzwerte und senkrechte Asymptoten

A

  1. Es geht gegen +∞+\infty
  2. Es geht gegen +∞+\infty
  3. Es geht gegen +∞+\infty

B

  1. Es geht gegen −∞-\infty
  2. Es geht gegen −∞-\infty
  3. Es geht gegen −∞-\infty

C

  1. 33
  2. 22

D

  1. Es geht gegen −∞-\infty
  2. Es geht gegen −∞-\infty
  3. Es geht gegen −∞-\infty

CC BY-SA 4.0