Gebrochenrationale Funktionen: senkrechte und waagerechte Asymptoten

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Bewege die Regler und beobachte den Graphen von $y = \dfrac{a}{x - h}$ .

Der Graph von y = a/(x − h): zwei Äste, getrennt durch eine senkrechte Asymptote bei x = h, die sich weit links und weit rechts der x-Achse nähern.

Wo liegt die senkrechte Gerade, die der Graph nie berührt?

Bei $x = h$
Bei $x = a$

Die Grundidee

Eine gebrochen-rationale Funktion ist ein Quotient ganzrationaler Terme.

Senkrechte Asymptoten liegen bei den Nullstellen des Nenners (die nicht auch Nullstellen des Zählers sind). Waagrechte Asymptote: Zählergrad kleiner:

y = 0

; Grade gleich:

y = \dfrac{\text{Leitkoeffizient oben}}{\text{Leitkoeffizient unten}}

; Zählergrad größer: keine.

Beispiel

Bestimme die Asymptoten von $f(x) = \dfrac{6x + 1}{2x - 8}$ .

Senkrechte Asymptote:

x = 4

Nenner 0: 2x − 8 = 0.

Waagrechte Asymptote:

y = \dfrac{6}{2} = 3

Gleicher Grad: Quotient der Leitkoeffizienten.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = \dfrac{5x - 2}{x + 3}$ .

Senkrechte Asymptote:

x = -3

x + 3 = 0.

Waagrechte Asymptote:

y = 5

Gleicher Grad: 5 durch 1.

Üben ★

$f(x) = \dfrac{ 4x + 6 }{x - 6}$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
$f(x) = \dfrac{ 6x + 4 }{x - 5}$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
$f(x) = \dfrac{ 2x + 5 }{x - 2}$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?
$f(x) = \dfrac{ 5x + 7 }{x - 4}$ hat die senkrechte Asymptote $x = c$ . Wie groß ist $c$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \dfrac{ 5x + 6 }{ 2x + 4 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?
$f(x) = \dfrac{ 2x + 2 }{ 4x + 7 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?
$f(x) = \dfrac{ 8x + 5 }{ 4x + 5 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?

Welche waagrechte Asymptote hat $f(x) = \dfrac{ 4x + 1}{x^2 + 6}$ ?
1. $y = 0$
2. $y = 4$
3. Keine, weil die Grade verschieden sind
Welche waagrechte Asymptote hat $f(x) = \dfrac{ 8x + 1}{x^2 + 5}$ ?
1. $y = 0$
2. $y = 8$
3. Keine, weil die Grade verschieden sind

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = \dfrac{ 5x + 6 }{ 2x + 4 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?
$f(x) = \dfrac{ 2x + 2 }{ 4x + 7 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?
$f(x) = \dfrac{ 8x + 5 }{ 4x + 5 }$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?

Merkkarte

Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen

Senkrecht: Nullstellen des Nenners.
Waagrecht: Grade vergleichen. Zählergrad kleiner: $y = 0$ . Gleich: Quotient der Leitkoeffizienten. Größer: keine.

Achtung: die Leitkoeffizienten verwenden, nicht die Konstanten.

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