Gebrochenrationale Funktionen: Achsenschnittpunkte und Lücken

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$ . Gekürzt sieht das aus wie $x + 1$ . Ist $f$ genau dieselbe Funktion wie $x + 1$ ?

Fast: $f$ ist bei $x = 2$ nicht definiert
Ja, genau dieselbe

Die Grundidee

Der Zähler und ein gekürzter Faktor zeigen, wo der Graph die Achse trifft und wo er eine Lücke hat.

Nullstellen: Nullstellen des Zählers, die keine Nullstellen des Nenners sind. Definitionslücke (Loch): ein Faktor, der sich oben und unten kürzt; das Loch liegt bei diesem

x

, seine Höhe ist der Wert des gekürzten Terms dort. y-Achsenabschnitt:

f(0)

.

Beispiel

Untersuche $f(x) = \dfrac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 3)(x - 1)}$ .

f(x) = \dfrac{x + 4}{x - 1}

für

x \neq 3

x − 3 kürzt sich.

Loch bei

\left(3\middle|\dfrac{7}{2}\right)

Gekürzter Term bei x = 3: 7/2.

Nullstelle:

x = -4

Verbleibende Nullstelle des Zählers.

Senkrechte Asymptote:

x = 1

Verbleibende Nullstelle des Nenners.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = \dfrac{(x + 2)(x - 5)}{x + 2}$ .

Loch bei

x = -2

x + 2 kürzt sich: f(x) = x − 5 für x ≠ −2.

Das Loch liegt bei

(-2|-7)

Gekürzter Term bei x = −2: −2 − 5.

Üben ★

Wo schneidet der Graph von $f(x) = \dfrac{x - 8}{x + 4}$ die $x$ -Achse? Gib $x$ an.
Wo schneidet der Graph von $f(x) = \dfrac{x - 5}{x + 1}$ die $x$ -Achse? Gib $x$ an.
Wo schneidet der Graph von $f(x) = \dfrac{x - 8}{x + 8}$ die $x$ -Achse? Gib $x$ an.
Wo schneidet der Graph von $f(x) = \dfrac{x - 3}{x + 7}$ die $x$ -Achse? Gib $x$ an.

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \dfrac{(x - 5)(x + 6)}{x - 5}$ . Bei welchem $x$ hat der Graph ein Loch?
$f(x) = \dfrac{(x - 6)(x + 4)}{x - 6}$ . Bei welchem $x$ hat der Graph ein Loch?
$f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{x - 2}$ . Bei welchem $x$ hat der Graph ein Loch?

$f(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1}$ hat ein Loch bei $x = 1$ . Welche y-Koordinate hat das Loch?
$f(x) = \dfrac{(x - 7)(x + 7)}{x - 7}$ hat ein Loch bei $x = 7$ . Welche y-Koordinate hat das Loch?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1}$ hat ein Loch bei $x = 1$ . Welche y-Koordinate hat das Loch?
$f(x) = \dfrac{(x - 7)(x + 7)}{x - 7}$ hat ein Loch bei $x = 7$ . Welche y-Koordinate hat das Loch?
$f(x) = \dfrac{(x - 9)(x + 1)}{x - 9}$ hat ein Loch bei $x = 9$ . Welche y-Koordinate hat das Loch?

Merkkarte

Nullstellen und Lücken

Gemeinsame Faktoren kürzen: Jeder hinterlässt ein Loch.
Höhe des Lochs: der gekürzte Term an diesem $x$ .
Nullstellen: verbleibende Nullstellen des Zählers; y-Achsenabschnitt: $f(0)$ .

Achtung: Nullstellen des Nenners ergeben Asymptoten, keine Nullstellen.

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