Die zweite Ableitung, Krümmung und Beschleunigung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die violette Kurve ist der Graph von $y = x^3$ . Die blaue Gerade ist seine Tangente bei $x = a$ . Verschiebe $a$ von $-2$ bis $2$ .

Der Graph von y = x³ und seine Tangente bei x = a. Für a < 0 liegt der Graph unter seiner Tangente, für a > 0 darüber. Der Wechsel geschieht bei x = 0.

Für $a > 0$ liegt der Graph über seinen Tangenten, und die Steigungen $3a^2$ wachsen. Wie ist er gekrümmt?

Linksgekrümmt
Rechtsgekrümmt

Die Grundidee

Die Ableitung der Ableitung zeigt, wie sich die Steigung ändert.

f''

ist die Ableitung von

f'

: die zweite Ableitung. Ist

f'' \geq 0

auf einem Intervall, so ist

f'

dort steigend und der Graph linksgekrümmt; ist

f'' \leq 0

, so ist

f'

fallend und der Graph rechtsgekrümmt. In der Physik ist die Beschleunigung

a(t) = v'(t)

, die zweite Ableitung des Orts.

Beispiel

$v(t) = t^2 + 4t$ in m/s. Berechne die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t = 3$ .

a(t) = v'(t) = 2t + 4

Die Geschwindigkeit ableiten.

a(3) = 10

m/s²

t = 3 einsetzen.

Du bist dran

Jetzt du: dasselbe $v(t)$ zum Zeitpunkt $t = 1$ .

a(1) = 6

m/s²

2 · 1 + 4.

Üben ★

Auf dem Intervall $]2; 8[$ ist $f$ steigend und der Graph rechtsgekrümmt. Kreuze alle wahren Aussagen für dieses Intervall an.
1. $f'(x) > 0$
2. $f''(x) < 0$
3. $f'$ ist fallend: Der Graph steigt immer langsamer
4. $f''(x) > 0$ , weil $f$ steigend ist
5. $f'(x) < 0$ , weil der Graph rechtsgekrümmt ist

Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist $v(t) = t^2 + 4t$ in m/s. Seine Beschleunigung ist $a(t) = v'(t)$ . Berechne $a(6)$ in m/s².
Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist $v(t) = t^2 + 1t$ in m/s. Seine Beschleunigung ist $a(t) = v'(t)$ . Berechne $a(6)$ in m/s².

Vorsicht!

Üben ★★

Hier ist der Graph der Ableitung $y = f'(x)$ . Tippe auf den Punkt dieses Graphen an der Stelle eines Wendepunkts von $f$ .
Hier ist der Graph der Ableitung $y = f'(x)$ . Tippe auf den Punkt dieses Graphen an der Stelle eines Wendepunkts von $f$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist $v(t) = t^2 + 4t$ in m/s. Seine Beschleunigung ist $a(t) = v'(t)$ . Berechne $a(6)$ in m/s².
Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist $v(t) = t^2 + 1t$ in m/s. Seine Beschleunigung ist $a(t) = v'(t)$ . Berechne $a(6)$ in m/s².
Die Geschwindigkeit eines Teilchens ist $v(t) = t^2 + 6t$ in m/s. Seine Beschleunigung ist $a(t) = v'(t)$ . Berechne $a(6)$ in m/s².

Merkkarte

Zweite Ableitung

$f'' \geq 0$ : $f'$ steigt, linksgekrümmt. $f'' \leq 0$ : $f'$ fällt, rechtsgekrümmt.
Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit.

Achtung: $f'$ sagt, ob der Graph steigt oder fällt; $f''$ sagt, wie er gekrümmt ist.

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