Wendepunkte und Krümmung am Graphen ablesen

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 11 › Monotonie, Extrema, Krümmung und Newton-Verfahren

Für ein PDF wähle im Druckdialog „Als PDF speichern“.

Wendepunkte und Krümmung am Graphen ablesen

Entdecken

Der Graph von y=x3y = x^3 durchsetzt bei x=0x = 0 seine Tangente. Was geschieht in diesem Punkt?

  1. f′′(x)=6xf''(x) = 6x wechselt bei 0 das Vorzeichen. Der Graph wechselt von rechts- zu linksgekrümmt." data-option="1">Der Graph wechselt die Krümmung
  2. f′(0)=0f'(0) = 0 ergibt hier kein Extremum: ff ist überall steigend. Aber f′′f'' wechselt bei 0 das Vorzeichen." data-option="2">ff hat ein Maximum

Die Grundidee

Ein Wendepunkt ist ein Punkt, in dem der Graph seine Tangente durchsetzt.

In einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung: f′′f'' wird null und wechselt das Vorzeichen. Am Graphen von f′f' ist es ein Extrempunkt von f′f'.

Achtung: f′′(a)=0f''(a) = 0 reicht nicht. Es braucht einen Vorzeichenwechsel.

Beispiel

Hat der Graph von f(x)=x4f(x) = x^4 bei 0 einen Wendepunkt?

f′′(x)=12x2f''(x) = 12x^2
Zweimal ableiten.
f′′(0)=0f''(0) = 0
f'' ist bei 0 null.
Kein Vorzeichenwechsel: kein Wendepunkt.
Aber 12x² bleibt auf beiden Seiten von 0 positiv.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=x3−9x2f(x) = x^3 - 9x^2. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt?

6x−18=06x - 18 = 0
f''(x) = 6x − 18.
x=3x = 3
f'' wechselt dort das Vorzeichen.

Üben ★

  1. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−9x2+2f(x) = x^3 - 9x^2 + 2?
  2. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−3x2+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3?
  3. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−6x2+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 1?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f(x)=x4f(x) = x^{ 4 } erfüllt f′′(0)=0f''(0) = 0. Hat der Graph bei 0 einen Wendepunkt?
    1. Nein: f′′f'' wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen
    2. Ja, weil f′′(0)=0f''(0) = 0
    3. Ja, und es ist ein Maximum von ff
  2. f(x)=x6f(x) = x^{ 6 } erfüllt f′′(0)=0f''(0) = 0. Hat der Graph bei 0 einen Wendepunkt?
    1. Nein: f′′f'' wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen
    2. Ja, weil f′′(0)=0f''(0) = 0
    3. Ja, und es ist ein Maximum von ff
  1. Der Graph von f′f' hat auf R\mathbb{R} genau ein Maximum, bei x=1x = 1. Was folgt für ff bei x=1x = 1?
    1. Der Graph von ff hat bei 1 einen Wendepunkt
    2. ff hat bei 1 ein Maximum
    3. f′(1)=0f'(1) = 0
  2. Der Graph von f′f' hat auf R\mathbb{R} genau ein Maximum, bei x=5x = 5. Was folgt für ff bei x=5x = 5?
    1. Der Graph von ff hat bei 5 einen Wendepunkt
    2. ff hat bei 5 ein Maximum
    3. f′(5)=0f'(5) = 0
  1. Hat der Graph von f(x)=x3f(x) = x^3 bei 0 einen Wendepunkt?
    1. Ja: f′′=6xf'' = 6x wechselt bei 0 das Vorzeichen
    2. Nein: Die Tangente bei 0 ist waagrecht
    3. Nein: f′′(0)=0f''(0) = 0 reicht nie

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−9x2+2f(x) = x^3 - 9x^2 + 2?
  2. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−3x2+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3?
  3. An welcher Stelle liegt der Wendepunkt des Graphen von f(x)=x3−6x2+1f(x) = x^3 - 6x^2 + 1?

Merkkarte

Wendepunkt

  • Der Graph durchsetzt dort seine Tangente, die Krümmung wechselt.
  • f′′f'' wird null mit Vorzeichenwechsel.

Achtung: Bei x4x^4 ist f′′(0)=0f''(0) = 0, aber es gibt keinen Wendepunkt.

Ende der Lektion

Nächste Lektion: Das Kriterium der zweiten Ableitung und Wendepunkte Zurück zum Kapitel

Lösungen: Wendepunkte und Krümmung am Graphen ablesen

A

  1. 33
  2. 11
  3. 22

B

  1. Nein: f′′f'' wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen
  2. Nein: f′′f'' wechselt bei 0 nicht das Vorzeichen

C

  1. Der Graph von ff hat bei 1 einen Wendepunkt
  2. Der Graph von ff hat bei 5 einen Wendepunkt

D

  1. Ja: f′′=6xf'' = 6x wechselt bei 0 das Vorzeichen

E

  1. 33
  2. 11
  3. 22

CC BY-SA 4.0