Kritische Stellen und das Vorzeichenwechselkriterium

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 11 › Monotonie, Extrema, Krümmung und Newton-Verfahren

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Kritische Stellen und das Vorzeichenwechselkriterium

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Hochpunkt eines Graphen hat eine waagrechte Tangente. Kurz davor steigt der Graph, kurz danach fällt er. Was macht f′f' an einem Hochpunkt?

  1. Es wechselt von ++ nach −-
  2. Es wechselt von −- nach ++

Die Grundidee

Extrema liegen dort, wo f′f' das Vorzeichen wechselt.

Kandidaten für Extremstellen sind die Stellen cc mit f′(c)=0f'(c) = 0 (oder an denen f′f' nicht existiert). Vorzeichenwechselkriterium: Wechselt f′f' bei cc von ++ nach −-, hat ff dort ein lokales Maximum; von −- nach ++ ein lokales Minimum; ohne Vorzeichenwechsel kein Extremum.

Beispiel

f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. Bestimme die lokalen Extrema.

f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2)f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)
f' faktorisieren.
Vorzeichen: + ∣ − ∣ ++\ |\ -\ |\ +
Vorzeichentabelle: + vor −2, − dazwischen, + nach 2.
Lokales Maximum bei x=−2x = -2, lokales Minimum bei x=2x = 2
+ nach − bei −2; − nach + bei 2.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=x2−6xf(x) = x^2 - 6x.

Kandidat x=3x = 3
f'(x) = 2x − 6 = 0.
Lokales Minimum bei x=3x = 3
− vor 3, + danach: ein Minimum.

Üben ★

  1. f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. An welcher Stelle xx hat ff ein lokales Maximum?
  2. f(x)=x3−27xf(x) = x^3 - 27x. An welcher Stelle xx hat ff ein lokales Maximum?
  1. Hier ist der Graph der Ableitung y=f′(x)y = f'(x). Tippe auf den Punkt dieses Graphen an der Stelle, an der ff ein lokales Maximum hat.
  2. Hier ist der Graph der Ableitung y=f′(x)y = f'(x). Tippe auf den Punkt dieses Graphen an der Stelle, an der ff ein lokales Maximum hat.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f′(x)=(x−−3)(x−5)2f'(x) = (x - -3)(x - 5)^2. Kreuze alle wahren Aussagen an.
    1. ff hat bei x=−3x = -3 ein lokales Minimum
    2. ff ist für x>−3x > -3 monoton steigend
    3. ff hat bei x=−3x = -3 ein lokales Maximum
    4. ff hat bei x=5x = 5 ein lokales Extremum
  2. f′(x)=(x−0)(x−4)2f'(x) = (x - 0)(x - 4)^2. Kreuze alle wahren Aussagen an.
    1. ff hat bei x=0x = 0 ein lokales Minimum
    2. ff ist für x>0x > 0 monoton steigend
    3. ff hat bei x=0x = 0 ein lokales Maximum
    4. ff hat bei x=4x = 4 ein lokales Extremum

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. An welcher Stelle xx hat ff ein lokales Maximum?
  2. f(x)=x3−27xf(x) = x^3 - 27x. An welcher Stelle xx hat ff ein lokales Maximum?
  3. f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. An welcher Stelle xx hat ff ein lokales Maximum?

Merkkarte

Vorzeichenwechselkriterium

  1. Nullstellen von f′f' bestimmen.
  2. Vorzeichentabelle von f′f'.
  3. +→−+ \to -: Maximum; −→+- \to +: Minimum; kein Wechsel: keins von beiden.

Achtung: f′(c)=0f'(c) = 0 allein ergibt noch kein Extremum.

Ende der Lektion

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Lösungen: Kritische Stellen und das Vorzeichenwechselkriterium

A

  1. −2-2
  2. −3-3

B

  1. (−3,0)(-3, 0)
  2. (−1,0)(-1, 0)

C

  1. ff hat bei x=−3x = -3 ein lokales Minimum · ff ist für x>−3x > -3 monoton steigend
  2. ff hat bei x=0x = 0 ein lokales Minimum · ff ist für x>0x > 0 monoton steigend

D

  1. −2-2
  2. −3-3
  3. −1-1

CC BY-SA 4.0