Das Kriterium der zweiten Ableitung und Wendepunkte

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 11 › Monotonie, Extrema, Krümmung und Newton-Verfahren

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Das Kriterium der zweiten Ableitung und Wendepunkte

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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In einem Punkt mit waagrechter Tangente ist der Graph flach. Ist er dort linksgekrümmt, wie eine Schüssel: Ist der Punkt ein Maximum oder ein Minimum?

  1. Ein Minimum
  2. Ein Maximum

Die Grundidee

Die zweite Ableitung kann eine Stelle mit waagrechter Tangente einordnen und zeigt Krümmungswechsel.

Hinreichendes Kriterium mit f′′f'': Ist f′(c)=0f'(c) = 0 und f′′(c)>0f''(c) > 0, liegt ein lokales Minimum vor; bei f′′(c)<0f''(c) < 0 ein lokales Maximum; bei f′′(c)=0f''(c) = 0 ist keine Aussage möglich. Ein Wendepunkt liegt dort, wo f′′f'' das Vorzeichen wechselt.

Beispiel

f(x)=x3−6x2f(x) = x^3 - 6x^2. Ordne die Stellen mit waagrechter Tangente ein und bestimme den Wendepunkt.

Kandidaten 00 und 44
f' = 3x² − 12x = 3x(x − 4).
Lokales Maximum bei 00, lokales Minimum bei 44
f'' = 6x − 12: f''(0) = −12, f''(4) = 12.
Wendepunkt bei x=2x = 2
f'' wechselt bei x = 2 das Vorzeichen.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=x3−9x2f(x) = x^3 - 9x^2. Wo liegt der Wendepunkt?

x=3x = 3
f''(x) = 6x − 18.

Üben ★

  1. f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. An welcher Stelle xx hat der Graph von ff einen Wendepunkt?
  2. f(x)=x3−12x2f(x) = x^3 - 12x^2. An welcher Stelle xx hat der Graph von ff einen Wendepunkt?
  1. f′(8)=0f'(8) = 0 und f′′(8)=3f''(8) = 3. Was liegt bei x=8x = 8 vor?
    1. Ein lokales Minimum
    2. Ein lokales Maximum
    3. Ein Wendepunkt

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f′(1)=0f'(1) = 0 und f′′(1)=0f''(1) = 0. Was folgt für x=1x = 1?
    1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein
    2. Es ist ein Wendepunkt
    3. Es ist ein lokales Maximum

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2. An welcher Stelle xx hat der Graph von ff einen Wendepunkt?
  2. f(x)=x3−12x2f(x) = x^3 - 12x^2. An welcher Stelle xx hat der Graph von ff einen Wendepunkt?
  3. f(x)=x3−15x2f(x) = x^3 - 15x^2. An welcher Stelle xx hat der Graph von ff einen Wendepunkt?

Merkkarte

Kriterium mit der zweiten Ableitung

  • f′=0f' = 0, f′′>0f'' > 0: Minimum. f′=0f' = 0, f′′<0f'' < 0: Maximum. f′′=0f'' = 0: keine Aussage.
  • Wendepunkt: f′′f'' wechselt das Vorzeichen.

Achtung: f′′(c)=0f''(c) = 0 reicht für einen Wendepunkt nicht.

Ende der Lektion

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Lösungen: Das Kriterium der zweiten Ableitung und Wendepunkte

A

  1. 11
  2. 44

B

  1. Ein lokales Minimum

C

  1. Noch nichts: Es kann ein Maximum, ein Minimum oder keins von beiden sein

D

  1. 11
  2. 44
  3. 55

CC BY-SA 4.0