Eine Funktion untersuchen: Ableitung, Grenzwerte, Monotonie

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Für $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ soll die Monotonietabelle erstellt werden. Womit beginnt man?

Eine Kurvendiskussion besteht aus wenigen Schritten.

Untersuche $f(x) = x\mathrm{e}^{-x}$ auf $\mathbb{R}$ .

f'(x) = \mathrm{e}^{-x} - x\mathrm{e}^{-x} = (1 - x)\mathrm{e}^{-x}

Produktregel, mit (e⁻ˣ)' = −e⁻ˣ.

f

steigt auf

]-\infty; 1]

und fällt auf

[1; +\infty[

e⁻ˣ > 0: Das Vorzeichen ist das von 1 − x.

f(1) = \mathrm{e}^{-1}

Das Maximum liegt bei 1.

\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0

Die Exponentialfunktion wächst schneller als jede Potenz.

Jetzt du: $f(x) = (x - 2)\mathrm{e}^{x}$ mit $f'(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x$ . Wo hat $f$ sein Minimum?

x = 1

f' wechselt von negativ zu positiv, wo x − 1 null wird.

$f(x) = (x - 6)\mathrm{e}^x$ , und es gilt $f'(x) = (x - 5)\mathrm{e}^x$ . An welcher Stelle $x$ hat $f$ sein Minimum?
$f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x$ , und es gilt $f'(x) = (x - 0)\mathrm{e}^x$ . An welcher Stelle $x$ hat $f$ sein Minimum?
$f(x) = (x - 3)\mathrm{e}^x$ , und es gilt $f'(x) = (x - 2)\mathrm{e}^x$ . An welcher Stelle $x$ hat $f$ sein Minimum?

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = (x - 6)\mathrm{e}^x$ , und es gilt $f'(x) = (x - 5)\mathrm{e}^x$ . An welcher Stelle $x$ hat $f$ sein Minimum?
$f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x$ , und es gilt $f'(x) = (x - 0)\mathrm{e}^x$ . An welcher Stelle $x$ hat $f$ sein Minimum?
$f(x) = (x - 3)\mathrm{e}^x$ , und es gilt $f'(x) = (x - 2)\mathrm{e}^x$ . An welcher Stelle $x$ hat $f$ sein Minimum?

Kurvendiskussion

Achtung: $\mathrm{e}^{u}$ ist immer positiv und ändert das Vorzeichen nicht.

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