Vorzeichen der Ableitung und Monotonie

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 11 › Monotonie, Extrema, Krümmung und Newton-Verfahren

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Vorzeichen der Ableitung und Monotonie

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Auf einem Intervall ist überall f′(x)>0f'(x) > 0. Wie verhält sich ff?

  1. Streng monoton steigend
  2. Positiv

Die Grundidee

Das Vorzeichen von f′f' zeigt das Monotonieverhalten.

Monotoniekriterium auf einem Intervall: f′≥0  ⟺  ff' \geq 0 \iff f monoton steigend; f′≤0  ⟺  ff' \leq 0 \iff f monoton fallend; f′=0  ⟺  ff' = 0 \iff f konstant.

Beispiel

Untersuche f(x)=x2−6x+1f(x) = x^2 - 6x + 1.

f′(x)=2x−6f'(x) = 2x - 6
Ableitung.
f′(x)≥0  ⟺  x≥3f'(x) \geq 0 \iff x \geq 3
Vorzeichen.
ff fällt auf ]−∞;3]]-\infty; 3] und steigt auf [3;+∞[[3; +\infty[.
Monotonie.

Du bist dran

Jetzt du: Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2+8xf(x) = x^2 + 8x?

−4-4
2x + 8 = 0.

Üben ★

  1. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5?
  2. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−8x+8f(x) = x^2 - 8x + 8?
  3. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−2x+8f(x) = x^2 - 2x + 8?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f′(x)=7(x−1)2f'(x) = 7(x - 1)^2. Wie verhält sich ff auf R\mathbb{R}?
    1. Monoton steigend
    2. Monoton fallend
    3. Erst fallend, dann steigend, weil f′(1)=0f'(1) = 0
  2. f′(x)=6(x−1)2f'(x) = 6(x - 1)^2. Wie verhält sich ff auf R\mathbb{R}?
    1. Monoton steigend
    2. Monoton fallend
    3. Erst fallend, dann steigend, weil f′(1)=0f'(1) = 0
  1. f′(x)=x−4f'(x) = x - 4. Auf welchem Intervall ist ff monoton steigend?
    1. [4;+∞[[4; +\infty[
    2. ]−∞;4]]-\infty; 4]
    3. Auf ganz R\mathbb{R}
  1. f′f' wird bei aa null und wechselt dort von positiv zu negativ. Was hat ff bei aa?
    1. Ein lokales Maximum
    2. Ein lokales Minimum
    3. Nichts Besonderes

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5?
  2. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−8x+8f(x) = x^2 - 8x + 8?
  3. Wo ist f′(x)=0f'(x) = 0 für f(x)=x2−2x+8f(x) = x^2 - 2x + 8?

Merkkarte

Monotonie

  • f′≥0f' \geq 0: ff steigt. f′≤0f' \leq 0: ff fällt.
  • Man fasst es in einer Monotonietabelle zusammen.

Achtung: Vorzeichen von f′f' und Vorzeichen von ff nicht verwechseln.

Ende der Lektion

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Lösungen: Vorzeichen der Ableitung und Monotonie

A

  1. 22
  2. 44
  3. 11

B

  1. Monoton steigend
  2. Monoton steigend

C

  1. [4;+∞[[4; +\infty[

D

  1. Ein lokales Maximum

E

  1. 22
  2. 44
  3. 11

CC BY-SA 4.0