Ableitungen von Exponentialfunktionen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die violette Kurve ist $y = \mathrm{e}^x$ , die blaue Gerade ihre Tangente bei $x = a$ . Verschiebe $a$ und vergleiche die Steigung der Geraden mit der Höhe des Punkts.

Die Kurve y = eˣ und ihre Tangente bei x = a. Die Steigung der Tangente ist gleich der Höhe eᵃ des Berührpunkts.

Bei $a = 0$ ist der Punkt $(0|1)$ . Welche Steigung hat die Tangente dort?

1
0

Die Grundidee

Der Exponent ist variabel, also gilt die Potenzregel nicht.

(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x

. Für jede Basis

b > 0

:

(b^x)' = b^x \ln b

.

Beispiel

$f(x) = 3\mathrm{e}^x - 2^x$ . Bestimme $f'(x)$ .

(3\mathrm{e}^x)' = 3\mathrm{e}^x

eˣ ist seine eigene Ableitung.

(2^x)' = 2^x \ln 2

Basis 2: mal ln 2.

f'(x) = 3\mathrm{e}^x - 2^x \ln 2

Zusammenfassen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 5\mathrm{e}^x + x^3$ .

f'(x) = 5\mathrm{e}^x + 3x^2

5eˣ bleibt; x³ ergibt 3x².

Üben ★

$f(x) = 8\mathrm{e}^x + 5x^2$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 4\mathrm{e}^x + 6x^2$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 7\mathrm{e}^x + 4x^2$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = 3^x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 4^x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Bestimme die Steigung der Tangente an $y = 8\mathrm{e}^x + 1$ bei $x = 0$ .
Bestimme die Steigung der Tangente an $y = 2\mathrm{e}^x + 4$ bei $x = 0$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = 3^x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 4^x$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = 2^x$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Exponentialfunktionen

$(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$ .
$(b^x)' = b^x \ln b$ .

Achtung: $x^n$ (variable Basis) und $b^x$ (variabler Exponent) haben verschiedene Regeln.

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