Die Produktregel

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 12 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Ableitung und Stammfunktion: Produkt- und Kettenregel, e-Funktion, Sinus und Kosinus

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Die Produktregel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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f(x)=xf(x) = x und g(x)=xg(x) = x, also f(x)⋅g(x)=x2f(x) \cdot g(x) = x^2. Ist (x2)′(x^2)' gleich f′(x)⋅g′(x)=1⋅1f'(x) \cdot g'(x) = 1 \cdot 1?

  1. Nein
  2. Ja

Die Grundidee

Jeder Faktor wird einmal abgeleitet, während der andere stehen bleibt.

Produktregel: (f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'.

Beispiel

h(x)=x3exh(x) = x^3 \mathrm{e}^x. Bestimme h′(x)h'(x).

f′=3x2f' = 3x^2, g′=exg' = \mathrm{e}^x
f = x³, g = eˣ.
h′(x)=3x2ex+x3exh'(x) = 3x^2 \mathrm{e}^x + x^3 \mathrm{e}^x
f'g + fg'.
h′(x)=x2ex(3+x)h'(x) = x^2 \mathrm{e}^x (3 + x)
Ausklammern, wenn du willst.

Du bist dran

Jetzt du: h(x)=xcos⁡xh(x) = x\cos x.

f′=1f' = 1, g′=−sin⁡xg' = -\sin x
f = x, g = cos x.
h′(x)=cos⁡x−xsin⁡xh'(x) = \cos x - x\sin x
f'g + fg'.

Üben ★

  1. f(x)=x2sin⁡xf(x) = x^{ 2 }\sin x. Bestimme f′(x)f'(x).
  2. f(x)=x3sin⁡xf(x) = x^{ 3 }\sin x. Bestimme f′(x)f'(x).
  1. f(x)=(x+3)exf(x) = (x + 3)\mathrm{e}^x. Bestimme f′(x)f'(x).
  2. f(x)=(x+8)exf(x) = (x + 8)\mathrm{e}^x. Bestimme f′(x)f'(x).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f(2)=4f(2) = 4, f′(2)=4f'(2) = 4, g(2)=−4g(2) = -4 und g′(2)=−1g'(2) = -1. Bestimme (fg)′(2)(fg)'(2).
  2. f(2)=−4f(2) = -4, f′(2)=−2f'(2) = -2, g(2)=2g(2) = 2 und g′(2)=3g'(2) = 3. Bestimme (fg)′(2)(fg)'(2).
  3. f(2)=−1f(2) = -1, f′(2)=1f'(2) = 1, g(2)=5g(2) = 5 und g′(2)=−1g'(2) = -1. Bestimme (fg)′(2)(fg)'(2).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. f(x)=x2sin⁡xf(x) = x^{ 2 }\sin x. Bestimme f′(x)f'(x).
  2. f(x)=x3sin⁡xf(x) = x^{ 3 }\sin x. Bestimme f′(x)f'(x).
  3. f(x)=x5sin⁡xf(x) = x^{ 5 }\sin x. Bestimme f′(x)f'(x).

Merkkarte

Produktregel

(fg)′=f′g+fg′(fg)' = f'g + fg': einen Faktor ableiten, den anderen stehen lassen, dann umgekehrt.

Achtung: (fg)′≠f′g′(fg)' \neq f'g'.

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Lösungen: Die Produktregel

A

  1. x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)}
  2. x3cos⁡(x)+3x2sin⁡(x)x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)}

B

  1. (x+4)ex\left(x + 4\right) e^{x}
  2. (x+9)ex\left(x + 9\right) e^{x}

C

  1. −20-20
  2. −16-16
  3. 66

D

  1. x2cos⁡(x)+2xsin⁡(x)x^{2} \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)}
  2. x3cos⁡(x)+3x2sin⁡(x)x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)}
  3. x5cos⁡(x)+5x4sin⁡(x)x^{5} \cos{\left(x \right)} + 5 x^{4} \sin{\left(x \right)}

CC BY-SA 4.0