Die Kettenregel

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Die violette Kurve ist der Graph von $y = \sin x$ , die blaue der von $y = \sin(kx)$ . Vergrößere $k$ .

Die Graphen von y = sin x und y = sin(kx). Für k = 2 schwingt die blaue Kurve doppelt so schnell, und ihre größte Steigung ist 2 statt 1.

Für $k = 2$ läuft die blaue Kurve doppelt so schnell. Welche Steigung hat die Tangente an $y = \sin(2x)$ bei $x = 0$ ?

Bei einer Verkettung leitest du die äußere Funktion ab, lässt die innere stehen und multiplizierst mit der Ableitung der inneren.

Kettenregel:

\big(v(u(x))\big)' = v'(u(x)) \cdot u'(x)

: äußere Ableitung mal innere Ableitung.

$h(x) = (x^2 + 1)^5$ . Bestimme $h'(x)$ .

v(u) = u^5

und

u(x) = x^2 + 1

Außen die 5. Potenz, innen x² + 1.

h'(x) = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x

v'(u) = 5u⁴ mit stehen gelassener innerer Funktion, und u'(x) = 2x.

h'(x) = 10x(x^2 + 1)^4

Ordnen.

Jetzt du: $h(x) = \mathrm{e}^{3x}$ .

h'(x) = 3\mathrm{e}^{3x}

Außen exp, innen 3x: mal 3.

Abschlussaufgabe. $h(x) = x^{ 3 }\sin(4x)$ . Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen bei $x = \dfrac{\pi}{ 4 }$ .

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Kettenregel

$\big(v(u(x))\big)' = v'(u(x)) \cdot u'(x)$ : äußere Ableitung (innere Funktion stehen lassen) mal innere Ableitung.

Achtung: Vergiss den Faktor $u'(x)$ nicht.

Ende der Lektion