Die Zahl e und Exponentialfunktionen zur Basis e

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Berechne $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ für $x = 1$ , $10$ , $100$ und $1000$ mit dem Taschenrechner.

Was fällt dir auf, wenn $x$ größer wird?

Die Grundidee

Die Werte nähern sich einer Zahl, der Eulerschen Zahl $\mathrm{e} \approx 2{,}718$ . Funktionen mit der Basis $\mathrm{e}$ beschreiben stetiges Wachstum.

Stetiges Wachstum mit der Rate

r

(als Dezimalzahl):

A(t) = A_0 \cdot \mathrm{e}^{rt}

In $f(t) = a \cdot \mathrm{e}^{kt}$ wird $f$ multipliziert mit $\mathrm{e}^{k}$ , wenn $t$ um 1 wächst.

Beispiel

Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $a(t) = 10\mathrm{e}^{t}$ mm². Mit welchem Faktor wächst er pro Tag, und wie groß ist er nach 2 Tagen?

Faktor pro Tag:

\mathrm{e} \approx 2{,}718

Hier ist k = 1: Jeder Tag multipliziert die Fläche mit e¹.

a(2) = 10\mathrm{e}^{2}

t = 2 einsetzen.

a(2) \approx 73{,}9

mm²

e² ≈ 7,389.

Du bist dran

Jetzt du: 500 Euro wachsen stetig mit 4 % pro Jahr. Ergänze die fehlende Zeile.

r = 0{,}04

4 % als Dezimalzahl.

A(t) = 500\mathrm{e}^{0{,}04t}

A₀ · e^(rt) verwenden.

Üben ★

Auf einem Konto liegen 400 Euro, die stetig mit 3 % pro Jahr wachsen. Gib den Betrag $A(t)$ nach $t$ Jahren an.
Auf einem Konto liegen 100 Euro, die stetig mit 8 % pro Jahr wachsen. Gib den Betrag $A(t)$ nach $t$ Jahren an.
Auf einem Konto liegen 300 Euro, die stetig mit 3 % pro Jahr wachsen. Gib den Betrag $A(t)$ nach $t$ Jahren an.
Auf einem Konto liegen 600 Euro, die stetig mit 6 % pro Jahr wachsen. Gib den Betrag $A(t)$ nach $t$ Jahren an.
Auf einem Konto liegen 500 Euro, die stetig mit 5 % pro Jahr wachsen. Gib den Betrag $A(t)$ nach $t$ Jahren an.

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 2\mathrm{e}^{ 4t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 3\mathrm{e}^{ 1t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 7\mathrm{e}^{ 4t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 2\mathrm{e}^{ 2t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 3\mathrm{e}^{ 4t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 2\mathrm{e}^{ 4t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 3\mathrm{e}^{ 1t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.
Ein Schimmelfleck hat nach $t$ Tagen die Fläche $f(t) = 7\mathrm{e}^{ 4t }$ mm². Mit welchem Faktor wird die Fläche pro Tag multipliziert? Gib den exakten Wert an.

Merkkarte

Die Eulersche Zahl $\mathrm{e}$

$\mathrm{e} \approx 2{,}718$ , der Grenzwert von $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ .
Stetiges Wachstum mit der Rate $r$ : $A(t) = A_0 \cdot \mathrm{e}^{rt}$ .
In $a \cdot \mathrm{e}^{kt}$ ist der Faktor pro Einheit von $t$ gleich $\mathrm{e}^{k}$ .

Achtung: „stetig mit r“ ist nicht „einmal pro Jahr mit 1 + r“.

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