Exponentialfunktion: Definition und Eigenschaften

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Es gibt genau eine differenzierbare Funktion auf $\mathbb{R}$ mit $f' = f$ und $f(0) = 1$ . Welche?

Die Exponentialfunktion
Die Quadratfunktion

Die Grundidee

Die Exponentialfunktion macht aus Summen im Exponenten Produkte.

$\exp' = \exp$ und $\exp(0) = 1$ . Man schreibt $\mathrm{e}^x = \exp(x)$ , mit $\mathrm{e} \approx 2{,}718$ .

$\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^y$ ; $\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^x}$ ; $\mathrm{e}^{x - y} = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^y}$ ; $(\mathrm{e}^x)^n = \mathrm{e}^{nx}$ .

Beispiel

Vereinfache $\dfrac{\mathrm{e}^{3x} \cdot \mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{x}}$ .

\dfrac{\mathrm{e}^{3x + 2}}{\mathrm{e}^x}

Produkt im Zähler.

\mathrm{e}^{2x + 2}

Quotient.

Du bist dran

Jetzt du: Vereinfache $\mathrm{e}^{x} \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .

1

e⁰.

Üben ★

Vereinfache $\mathrm{e}^{ 2x } \cdot \mathrm{e}^{ 3x }$ .
Vereinfache $\mathrm{e}^{ 2x } \cdot \mathrm{e}^{ 4x }$ .
Vereinfache $\mathrm{e}^{ 8x } \cdot \mathrm{e}^{ 3x }$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Vereinfache $\dfrac{\mathrm{e}^{ 8x }}{\mathrm{e}^{ 3x }}$ .
Vereinfache $\dfrac{\mathrm{e}^{ 9x }}{\mathrm{e}^{ 1x }}$ .

Vereinfache $\left(\mathrm{e}^{ 4x }\right)^{ 5 }$ .

Welches Vorzeichen hat $\mathrm{e}^x$ ?
1. Positiv für jede reelle Zahl $x$
2. Negativ für $x < 0$
3. Null bei 0

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Vereinfache $\mathrm{e}^{ 2x } \cdot \mathrm{e}^{ 3x }$ .
Vereinfache $\mathrm{e}^{ 2x } \cdot \mathrm{e}^{ 4x }$ .
Vereinfache $\mathrm{e}^{ 8x } \cdot \mathrm{e}^{ 3x }$ .

Merkkarte

Exponentialfunktion

$\exp' = \exp$ , $\exp(0) = 1$ .
$\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^y$ .

Achtung: $\mathrm{e}^{x + y}$ ist nicht $\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^y$ .

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