Stammfunktionen

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Welche Funktion hat die Ableitung $3x^2$ ?

$x^3$
$6x$

Die Grundidee

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$ auf einem Intervall, wenn $F' = f$ gilt. Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante.

Wichtige Stammfunktionen: $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$ für $n \neq -1$ ; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ auf $]0; +\infty[$ ; $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x}$ ; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$ ; $\cos x \to \sin x$ ; $\sin x \to -\cos x$ .

Beispiel

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 4x^3 + \sin x$ mit $F(0) = 2$ .

F(x) = x^4 - \cos x + C

Summandenweise.

C = 3

F(0) = 0 − 1 + C = 2.

F(x) = x^4 - \cos x + 3

Probe durch Ableiten.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 6x^2$ mit $F(0) = 0$ .

F(x) = 2x^3

6x³/3.

Üben ★

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 4x^{ 3 } + 9$ mit $F(0) = 0$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 2x^{ 2 } + 8$ mit $F(0) = 0$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 5x^{ 4 } + 6$ mit $F(0) = 0$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \cos x + \mathrm{e}^x$ mit $F(0) = 6$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \cos x + \mathrm{e}^x$ mit $F(0) = 4$ .

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \dfrac{1}{x}$ für $x > 0$ mit $F(1) = -9$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = \dfrac{1}{x}$ für $x > 0$ mit $F(1) = 8$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 4x^{ 3 } + 9$ mit $F(0) = 0$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 2x^{ 2 } + 8$ mit $F(0) = 0$ .
Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = 5x^{ 4 } + 6$ mit $F(0) = 0$ .

Merkkarte

Stammfunktionen

$x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ ; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$ ; $\cos \to \sin$ ; $\sin \to -\cos$ .
Ein gegebener Funktionswert legt $C$ fest.

Achtung: Mach immer die Probe durch Ableiten.

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