Kombinationen und Binomialkoeffizienten

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Jahrgangsstufe 12 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Zufallsgrößen und Binomialverteilung

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Kombinationen und Binomialkoeffizienten

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Aus einer Gruppe von 5 Schülerinnen und Schülern werden 2 für einen Ausflug ausgewählt. Das Paar Ana-Ben ist dasselbe wie Ben-Ana. Wie viele Paare gibt es?

  1. 10
  2. 20

Die Grundidee

Eine Kombination von kk Elementen ist eine Teilmenge mit kk Elementen: ohne Reihenfolge und ohne Wiederholung.

(nk)=n(n−1)⋯(n−k+1)k!=n!k! (n−k)!\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Man liest „nn über kk“. Zu jeder Teilmenge gehören k!k! geordnete Listen, deshalb teilt man durch k!k!.

Beispiel

Berechne (62)\dbinom{6}{2} und deute das Ergebnis.

(62)=6⋅52!\dbinom{6}{2} = \dfrac{6 \cdot 5}{2!}
Zwei Faktoren im Zähler, weil k = 2.
(62)=15\dbinom{6}{2} = 15
2! = 2.
Es gibt 15 Möglichkeiten, 2 Elemente aus 6 auszuwählen.
Deutung: Teilmengen mit 2 Elementen.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne (73)\dbinom{7}{3}.

(73)=7⋅6⋅56\dbinom{7}{3} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6}
Drei Faktoren, geteilt durch 3! = 6.
3535
210 : 6.

Üben ★

  1. Berechne (112)\dbinom{ 11 }{ 2 }.
  2. Berechne (123)\dbinom{ 12 }{ 3 }.
  3. Berechne (122)\dbinom{ 12 }{ 2 }.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. In einem Team aus 21 Personen wird eine Dreiergruppe ohne besondere Rollen gebildet. Wie viele verschiedene Gruppen gibt es?
  2. In einem Team aus 7 Personen wird eine Dreiergruppe ohne besondere Rollen gebildet. Wie viele verschiedene Gruppen gibt es?
  1. In einer Klasse mit 17 Schülerinnen und Schülern werden ein Klassensprecher und ein Stellvertreter ausgelost. Mit welcher Rechnung erhältst du die Anzahl der möglichen Auslosungen?
    1. 17⋅1617 \cdot 16
    2. (172)\dbinom{ 17 }{2}
    3. 17217^2
  2. In einer Klasse mit 18 Schülerinnen und Schülern werden ein Klassensprecher und ein Stellvertreter ausgelost. Mit welcher Rechnung erhältst du die Anzahl der möglichen Auslosungen?
    1. 18⋅1718 \cdot 17
    2. (182)\dbinom{ 18 }{2}
    3. 18218^2
  1. Ein Verein hat 6 Mädchen und 3 Jungen. Es werden 2 Mädchen und 1 Junge ausgewählt. Wie viele Gruppen sind möglich?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne (112)\dbinom{ 11 }{ 2 }.
  2. Berechne (123)\dbinom{ 12 }{ 3 }.
  3. Berechne (122)\dbinom{ 12 }{ 2 }.

Merkkarte

Kombinationen

  • (nk)\dbinom{n}{k}: Anzahl der Teilmengen mit kk Elementen einer Menge mit nn Elementen.
  • (nk)=n!k! (n−k)!\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Achtung: Wenn die Reihenfolge zählt, ist es keine Kombination.

Ende der Lektion

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Lösungen: Kombinationen und Binomialkoeffizienten

A

  1. 5555
  2. 220220
  3. 6666

B

  1. 13301330
  2. 3535

C

  1. 17⋅1617 \cdot 16
  2. 18⋅1718 \cdot 17

D

  1. 4545

E

  1. 5555
  2. 220220
  3. 6666

CC BY-SA 4.0