Die Binomialverteilung

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Jahrgangsstufe 12 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Zufallsgrößen und Binomialverteilung

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Die Binomialverteilung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Münze wird dreimal geworfen. Wie viele Folgen enthalten genau einmal Zahl?

  1. 3
  2. 1

Die Grundidee

Ein Bernoulli-Experiment hat zwei Ergebnisse: Treffer mit der Wahrscheinlichkeit pp und Niete. Eine Bernoulli-Kette der Länge nn wiederholt es nn-mal unabhängig.

Die Anzahl XX der Treffer ist binomialverteilt nach B(n;p)B(n; p): P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}, wobei (nk)\binom{n}{k} die Pfade im Baumdiagramm mit kk Treffern zählt.

Beispiel

XX ist nach B(5;0,2)B(5; 0{,}2) verteilt. Berechne P(X=2)P(X = 2).

(52)=10\binom{5}{2} = 10
Anzahl der Pfade.
0,22⋅0,83=0,020480{,}2^2 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}02048
Wahrscheinlichkeit eines Pfads.
P(X=2)=0,2048P(X = 2) = 0{,}2048
Multiplizieren.

Du bist dran

Jetzt du: XX ist nach B(4;12)B\left(4; \dfrac{1}{2}\right) verteilt. Berechne P(X=1)P(X = 1).

14\dfrac{1}{4}
4 · (½)⁴.

Üben ★

  1. Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 16\dfrac{1}{ 6 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 5 unabhängigen Würfen genau einmal zu treffen.
  2. Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 15\dfrac{1}{ 5 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 6 unabhängigen Würfen genau einmal zu treffen.
  1. Welche Situation lässt sich mit einer Binomialverteilung beschreiben?
    1. Die Anzahl von „Zahl“ bei 9 Würfen einer fairen Münze
    2. Die Anzahl der Würfe bis zur ersten „Zahl“
    3. Die Anzahl der Asse unter 9 Karten, die ohne Zurücklegen gezogen werden

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Samenkorn keimt mit der Wahrscheinlichkeit 14\dfrac{1}{ 4 }, unabhängig von den anderen. Es werden 6 Körner gesät. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei keimen.
  2. Ein Samenkorn keimt mit der Wahrscheinlichkeit 13\dfrac{1}{ 3 }, unabhängig von den anderen. Es werden 8 Körner gesät. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei keimen.
  1. Abschlussaufgabe. Ein Bauteil einer Maschine ist mit der Wahrscheinlichkeit 15\dfrac{1}{ 5 } defekt, unabhängig von den anderen. Vier Bauteile werden geprüft; XX zählt die defekten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 16\dfrac{1}{ 6 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 5 unabhängigen Würfen genau einmal zu treffen.
  2. Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 15\dfrac{1}{ 5 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 6 unabhängigen Würfen genau einmal zu treffen.
  3. Eine Spielerin trifft einen Freiwurf mit der Wahrscheinlichkeit 12\dfrac{1}{ 2 }. Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei 7 unabhängigen Würfen genau einmal zu treffen.

Merkkarte

Binomialverteilung

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k} für XX nach B(n;p)B(n; p).

Achtung: Mit der Anzahl der Pfade multiplizieren.

Ende der Lektion

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Lösungen: Die Binomialverteilung

A

  1. 31257776\frac{3125}{7776}
  2. 614415625\frac{6144}{15625}

B

  1. Die Anzahl von „Zahl“ bei 9 Würfen einer fairen Münze

C

  1. 12154096\frac{1215}{4096}
  2. 17926561\frac{1792}{6561}

D

  1. 45\frac{4}{5}

E

  1. 31257776\frac{3125}{7776}
  2. 614415625\frac{6144}{15625}
  3. 7128\frac{7}{128}

CC BY-SA 4.0