Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 12 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Zufallsgrößen und Binomialverteilung

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Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße

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Ein Los gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 genau 10 Euro, sonst nichts. Wie viel gewinnt man auf lange Sicht im Mittel pro Los?

  1. 1 Euro
  2. 5 Euro

Die Grundidee

Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße.

E(X)=μ=∑x⋅P(X=x)E(X) = \mu = \sum x \cdot P(X = x), der Mittelwert auf lange Sicht. Var(X)=∑(x−μ)2⋅P(X=x)Var(X) = \sum (x - \mu)^2 \cdot P(X = x) und σ=Var(X)\sigma = \sqrt{Var(X)}. Ist XX mit der Wahrscheinlichkeit pp gleich 1 und sonst 0: μ=p\mu = p, Var(X)=p(1−p)Var(X) = p(1 - p).

Beispiel

XX: 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,3, 0,4, 0,3.

E(X)=0+0,4+0,6=1E(X) = 0 + 0{,}4 + 0{,}6 = 1
Σ x · P(X = x).
Var(X)=0,3+0+0,3=0,6Var(X) = 0{,}3 + 0 + 0{,}3 = 0{,}6
Σ (x − 1)² · P(X = x).
σ=0,6≈0,77\sigma = \sqrt{0{,}6} \approx 0{,}77
Wurzel ziehen.

Du bist dran

Jetzt du: XX = 0, 5 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,6, 0,4. Bestimme E(X)E(X).

22
5 · 0,4.

Üben ★

  1. X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 51/100, 15/100 und 34/100 an. Bestimme E(X).
  2. X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 56/100, 25/100 und 19/100 an. Bestimme E(X).
  1. Ein Spiel kostet 1 Euro. Mit der Wahrscheinlichkeit 1/7 gewinnst du netto 9 Euro; sonst ist dein Euro verloren. Bestimme deinen erwarteten Nettogewinn in Euro.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. X = 1 mit der Wahrscheinlichkeit 7/10, sonst X = 0. Bestimme die Standardabweichung von X.
  2. X = 1 mit der Wahrscheinlichkeit 9/10, sonst X = 0. Bestimme die Standardabweichung von X.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 51/100, 15/100 und 34/100 an. Bestimme E(X).
  2. X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 56/100, 25/100 und 19/100 an. Bestimme E(X).
  3. X nimmt die Werte 0, 1, 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 77/100, 10/100 und 13/100 an. Bestimme E(X).

Merkkarte

Erwartungswert und Standardabweichung

E(X)=∑x⋅P(X=x)E(X) = \sum x \cdot P(X = x); σ=∑(x−μ)2⋅P(X=x)\sigma = \sqrt{\sum (x - \mu)^2 \cdot P(X = x)}.

Achtung: Mit den Wahrscheinlichkeiten gewichten; Verluste mitzählen.

Ende der Lektion

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Lösungen: Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße

A

  1. 83100\frac{83}{100}
  2. 63100\frac{63}{100}

B

  1. 37\frac{3}{7}

C

  1. 2110\frac{\sqrt{21}}{10}
  2. 310\frac{3}{10}

D

  1. 83100\frac{83}{100}
  2. 63100\frac{63}{100}
  3. 925\frac{9}{25}

CC BY-SA 4.0