Einseitiger Signifikanztest

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Mia glaubt, dass ihre Münze öfter „Zahl“ zeigt. Sie wirft 20-mal. Unter der Annahme $p = 0{,}5$ gilt $P(X \geq 15) \approx 0{,}021$ und $P(X \geq 14) \approx 0{,}058$ . Ab wie vielen Zahlwürfen hält sie die Münze bei einem Signifikanzniveau von 5 % für gezinkt?

$\\{15; \\dots; 20\\}$ $15; d o t s; 20$ hat unter $p = 0{,}5$ die Wahrscheinlichkeit 0,021, höchstens 5 %." data-option="1">Ab 15
Ab 14

Die Grundidee

Ein Test entscheidet mit einer Stichprobe zwischen zwei Hypothesen; das Risiko eines Fehlurteils wird begrenzt.

Die Nullhypothese $H_0$ ist die bisherige Annahme, die Gegenhypothese $H_1$ das, was man zeigen möchte. Prüfgröße: die Trefferzahl $X$ , unter $H_0$ binomialverteilt.

Rechtsseitiger Test ( $H_1\colon p > p_0$ ): Ablehnungsbereich $\{k; \dots; n\}$ mit dem kleinsten $k$ , für das $P(X \geq k) \leq \alpha$ gilt. Linksseitiger Test ( $H_1\colon p < p_0$ ): $\{0; \dots; k\}$ mit dem größten $k$ , für das $P(X \leq k) \leq \alpha$ gilt. $\alpha$ ist das Signifikanzniveau.

Beispiel

Ein Hersteller gibt an, dass höchstens 10 % der Lose Gewinne sind ( $p_0 = 0{,}1$ ). Ein Händler vermutet mehr und prüft 50 Lose. Unter $p = 0{,}1$ gilt $P(X \geq 10) \approx 0{,}025$ und $P(X \geq 9) \approx 0{,}058$ .

H_0\colon p \leq 0{,}1

,

H_1\colon p > 0{,}1

: rechtsseitig

Der Händler will mehr Gewinne zeigen.

k = 10

Kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05.

Bei mindestens 10 Gewinnen wird

H_0

abgelehnt.

Entscheidungsregel.

Du bist dran

Jetzt du: Rechtsseitiger Test, $\alpha = 5\,\%$ . Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 8) \approx 0{,}03$ und $P(X \geq 7) \approx 0{,}09$ . Wo beginnt der Ablehnungsbereich?

P(X \geq 8) \leq 0{,}05

0,03 ≤ 0,05, aber 0,09 > 0,05.

k = 8

Kleinstes solches k.

Üben ★

Rechtsseitiger Test mit dem Signifikanzniveau 5 %. Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 10) \approx 0{,}03$ und $P(X \geq 9) \approx 0{,}07$ . Ab welcher Trefferzahl wird $H_0$ abgelehnt?
Rechtsseitiger Test mit dem Signifikanzniveau 5 %. Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 8) \approx 0{,}04$ und $P(X \geq 7) \approx 0{,}09$ . Ab welcher Trefferzahl wird $H_0$ abgelehnt?

Ein Hersteller gibt an, dass höchstens 2 % seiner Bauteile defekt sind. Eine Kundin vermutet mehr und will das mit einer Stichprobe zeigen. Welche Nullhypothese testet sie?
1. $H_0\colon p \leq 0{,}02$
2. $H_0\colon p > 0{,}02$
3. $H_0\colon p < 0{,}02$

Vorsicht!

Üben ★★

Eine Münze wird 5-mal geworfen, um $H_0\colon p = 0{,}5$ gegen $H_1\colon p > 0{,}5$ zu testen ( $p$ : Wahrscheinlichkeit für „Zahl“). $H_0$ wird nur abgelehnt, wenn jedes Mal „Zahl“ fällt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird $H_0$ abgelehnt, obwohl sie stimmt?
Eine Münze wird 6-mal geworfen, um $H_0\colon p = 0{,}5$ gegen $H_1\colon p > 0{,}5$ zu testen ( $p$ : Wahrscheinlichkeit für „Zahl“). $H_0$ wird nur abgelehnt, wenn jedes Mal „Zahl“ fällt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird $H_0$ abgelehnt, obwohl sie stimmt?

Ein neues Lernprogramm soll die Bestehensquote von bisher 70 % erhöhen. Wo liegt der Ablehnungsbereich des Tests von $H_0\colon p \leq 0{,}7$ ?
1. Rechts: viele Bestandene sprechen gegen $H_0$
2. Links: wenige Bestandene sprechen gegen $H_0$
3. Auf beiden Seiten

Abschlussaufgabe. Eine Münze wird 8-mal geworfen; getestet wird $H_0\colon p = 0{,}5$ gegen $H_1\colon p > 0{,}5$ mit dem Ablehnungsbereich $\{ 7; 8 \}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Rechtsseitiger Test mit dem Signifikanzniveau 5 %. Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 10) \approx 0{,}03$ und $P(X \geq 9) \approx 0{,}07$ . Ab welcher Trefferzahl wird $H_0$ abgelehnt?
Rechtsseitiger Test mit dem Signifikanzniveau 5 %. Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 8) \approx 0{,}04$ und $P(X \geq 7) \approx 0{,}09$ . Ab welcher Trefferzahl wird $H_0$ abgelehnt?
Rechtsseitiger Test mit dem Signifikanzniveau 5 %. Unter $H_0$ gilt $P(X \geq 14) \approx 0{,}02$ und $P(X \geq 13) \approx 0{,}06$ . Ab welcher Trefferzahl wird $H_0$ abgelehnt?

Merkkarte

Einseitiger Signifikanztest

$H_1$ ist die Vermutung, die man zeigen will.
Rechtsseitig: kleinstes $k$ mit $P(X \geq k) \leq \alpha$ .
Linksseitig: größtes $k$ mit $P(X \leq k) \leq \alpha$ .

Achtung: Die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs unter $H_0$ darf $\alpha$ nicht übersteigen.

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