Die Quotientenregel

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

$\dfrac{x^3}{x} = x^2$ , mit der Ableitung $2x$ . Der Quotient der Ableitungen wäre $\dfrac{3x^2}{1}$ . Stimmt das überein?

Zuerst die Ableitung des Zählers, dann subtrahieren.

Quotientenregel:

\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}

mit

g \neq 0

$h(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ . Bestimme $h'(x)$ .

f' = 2x

g' = 1

f = x², g = x + 1.

h'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2}

f'g − fg' durch g².

h'(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}

Zähler vereinfachen.

Jetzt du: $h(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{x}$ .

h'(x) = \dfrac{x\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^x}{x^2}

f = eˣ, g = x: f'g − fg' = xeˣ − eˣ.

$f(1) = 1$ , $f'(1) = -2$ , $g(1) = 4$ und $g'(1) = 2$ . Bestimme $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(1)$ .
$f(1) = 1$ , $f'(1) = 1$ , $g(1) = 1$ und $g'(1) = 4$ . Bestimme $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(1)$ .

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Quotientenregel

$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$ : „Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten, durch unten zum Quadrat“.

Achtung: Die Reihenfolge im Zähler zählt.

Ende der Lektion