Ableitung von Produkt, Kehrwert, Quotient

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 12 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Quotientenregel, ln-Funktion und weitere Funktionen

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Ableitung von Produkt, Kehrwert, Quotient

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f(x) = x \cdot x$ . Gilt $f'(x) = 1 \cdot 1$ ?

Nein: $f'(x) = 2x$
Ja

Die Grundidee

Produkt, Kehrwert, Quotient: Jedes hat seine eigene Regel.

(uv)' = u'v + uv'

;

\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}

;

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

.

Beispiel

$f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ . Bestimme $f'(x)$ .

u' = 2x

,

v' = 1

u = x², v = x + 1.

f'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2}

Regel anwenden.

f'(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}

Vereinfachen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = x\sqrt{x}$ . Wie groß ist $f'(4)$ ?

3

f'(x) = √x + x/(2√x); f'(4) = 2 + 1.

Üben ★

$f(x) = (x + 2)x^{ 4 }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (x + 2)x^{ 2 }$ . Bestimme $f'(x)$ .

$f(x) = \dfrac{1}{x + 7}$ . Bestimme $f'(x)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = \dfrac{x}{x + 4}$ . Bestimme $f'(x)$ .

$f(x) = 7x^3 + 5x^2$ . Bestimme $f'(x)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = (x + 2)x^{ 4 }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (x + 2)x^{ 2 }$ . Bestimme $f'(x)$ .
$f(x) = (x + 3)x^{ 3 }$ . Bestimme $f'(x)$ .

Merkkarte

Ableitungsregeln

$(uv)' = u'v + uv'$ .
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .

Achtung: Niemals $(uv)' = u'v'$ .

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Lösungen: Ableitung von Produkt, Kehrwert, Quotient

A

$x^{4} + x^{3} \left(4 x + 8\right)$
$x^{2} + x \left(2 x + 4\right)$

B

$- \frac{1}{\left(x + 7\right)^{2}}$

C

$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$
$\frac{4}{\left(x + 4\right)^{2}}$

D

$21 x^{2} + 10 x$

E

$x^{4} + x^{3} \left(4 x + 8\right)$
$x^{2} + x \left(2 x + 4\right)$
$x^{3} + x^{2} \left(3 x + 9\right)$

CC BY-SA 4.0