Der natürliche Logarithmus als Umkehrfunktion von e^x

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 12 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Quotientenregel, ln-Funktion und weitere Funktionen

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Der natürliche Logarithmus als Umkehrfunktion von e^x

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Die Exponentialfunktion ist stetig und streng monoton steigend, mit der Wertemenge ]0;+∞[]0; +\infty[. Wie viele Lösungen hat ex=a\mathrm{e}^x = a für a>0a > 0?

  1. Genau eine
  2. Zwei

Die Grundidee

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Für a>0a > 0 ist ln⁡a\ln a die einzige reelle Zahl mit eln⁡a=a\mathrm{e}^{\ln a} = a.

ex=a  ⟺  x=ln⁡a\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a. Außerdem gilt ln⁡(ex)=x\ln(\mathrm{e}^x) = x für jede reelle Zahl xx, ln⁡1=0\ln 1 = 0 und ln⁡e=1\ln \mathrm{e} = 1.

Beispiel

Löse ln⁡x=3\ln x = 3.

x=e3x = \mathrm{e}^3
Auf beide Seiten exp anwenden: exp und ln sind Umkehrfunktionen.
e3>0\mathrm{e}^3 > 0: Die Lösung passt.
Die Lösung ist positiv.

Du bist dran

Jetzt du: Vereinfache ln⁡(e5)\ln(\mathrm{e}^{5}).

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ln und exp sind Umkehrfunktionen.

Üben ★

  1. Löse ln⁡x=4\ln x = 4.
  2. Löse ln⁡x=6\ln x = 6.
  3. Löse ln⁡x=1\ln x = 1.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Löse ln⁡x=4\ln x = 4.
  2. Löse ln⁡x=6\ln x = 6.
  1. Berechne ln⁡(e4)\ln(\mathrm{e}^{ 4 }).
  1. Berechne eln⁡19\mathrm{e}^{\ln 19}.
  1. Auf welchem Intervall gilt ln⁡x<0\ln x < 0?
    1. ]0;1[]0; 1[
    2. ]−∞;0[]-\infty; 0[
    3. ]1;+∞[]1; +\infty[

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse ln⁡x=4\ln x = 4.
  2. Löse ln⁡x=6\ln x = 6.
  3. Löse ln⁡x=1\ln x = 1.

Merkkarte

Natürlicher Logarithmus

  • ln⁡\ln ist auf ]0;+∞[]0; +\infty[ definiert.
  • ex=a  ⟺  x=ln⁡a\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a (mit a>0a > 0).
  • ln⁡1=0\ln 1 = 0 und ln⁡e=1\ln \mathrm{e} = 1.

Achtung: Den Logarithmus einer negativen Zahl oder von 0 gibt es nicht.

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Lösungen: Der natürliche Logarithmus als Umkehrfunktion von e^x

A

  1. e4e^{4}
  2. e6e^{6}
  3. ee

B

  1. e4e^{4}
  2. e6e^{6}

C

  1. 44

D

  1. 1919

E

  1. ]0;1[]0; 1[

F

  1. e4e^{4}
  2. e6e^{6}
  3. ee

CC BY-SA 4.0