Rechenregeln des natürlichen Logarithmus

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 12 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Quotientenregel, ln-Funktion und weitere Funktionen

Für ein PDF wähle im Druckdialog „Als PDF speichern“.

Rechenregeln des natürlichen Logarithmus

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Mit dem Taschenrechner: ln⁡2≈0,69\ln 2 \approx 0{,}69 und ln⁡3≈1,10\ln 3 \approx 1{,}10. Welche dieser Zahlen ist ungefähr 1,791{,}79?

  1. ln⁡6\ln 6
  2. ln⁡5\ln 5

Die Grundidee

Der Logarithmus macht aus Produkten Summen.

Für a>0a > 0, b>0b > 0 und eine ganze Zahl nn gilt:

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b; ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln \dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b; ln⁡1b=−ln⁡b\ln \dfrac{1}{b} = -\ln b; ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a; ln⁡a=12ln⁡a\ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a.

Beispiel

Schreibe A=ln⁡12−2ln⁡2A = \ln 12 - 2\ln 2 in der Form ln⁡c\ln c.

A=ln⁡12−ln⁡4A = \ln 12 - \ln 4
n ln a = ln(aⁿ).
A=ln⁡124A = \ln \dfrac{12}{4}
Differenz: ln des Quotienten.
A=ln⁡3A = \ln 3
12 : 4.

Du bist dran

Jetzt du: Vereinfache ln⁡5+ln⁡2−ln⁡10\ln 5 + \ln 2 - \ln 10.

ln⁡10−ln⁡10\ln 10 - \ln 10
Summe: ln des Produkts.
00
Die Differenz.

Üben ★

  1. Man schreibt ln⁡(27)=cln⁡2\ln(2^{ 7 }) = c\ln 2. Wie groß ist cc?
  2. Man schreibt ln⁡(36)=cln⁡3\ln(3^{ 6 }) = c\ln 3. Wie groß ist cc?
  3. Man schreibt ln⁡(28)=cln⁡2\ln(2^{ 8 }) = c\ln 2. Wie groß ist cc?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welcher Term ist gleich ln⁡(2⋅5)\ln(2 \cdot 5)?
    1. ln⁡2+ln⁡5\ln 2 + \ln 5
    2. ln⁡2⋅ln⁡5\ln 2 \cdot \ln 5
    3. ln⁡(2+5)\ln(2 + 5)
  2. Welcher Term ist gleich ln⁡(6⋅8)\ln(6 \cdot 8)?
    1. ln⁡6+ln⁡8\ln 6 + \ln 8
    2. ln⁡6⋅ln⁡8\ln 6 \cdot \ln 8
    3. ln⁡(6+8)\ln(6 + 8)
  1. Drücke ln⁡9−ln⁡3\ln 9 - \ln 3 durch ln⁡3\ln 3 aus: Es ist cln⁡3c\ln 3. Wie groß ist cc?
  2. Drücke ln⁡16807−ln⁡7\ln 16807 - \ln 7 durch ln⁡7\ln 7 aus: Es ist cln⁡7c\ln 7. Wie groß ist cc?
  1. ln⁡13=cln⁡3\ln\dfrac{1}{ 3 } = c\ln 3. Wie groß ist cc?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Man schreibt ln⁡(27)=cln⁡2\ln(2^{ 7 }) = c\ln 2. Wie groß ist cc?
  2. Man schreibt ln⁡(36)=cln⁡3\ln(3^{ 6 }) = c\ln 3. Wie groß ist cc?
  3. Man schreibt ln⁡(28)=cln⁡2\ln(2^{ 8 }) = c\ln 2. Wie groß ist cc?

Merkkarte

Rechenregeln für ln (a,b>0a, b > 0)

  • ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b.
  • ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b.
  • ln⁡(an)=nln⁡a\ln(a^n) = n\ln a.

Achtung: Für ln⁡(a+b)\ln(a + b) gibt es keine Regel.

Ende der Lektion

Nächste Lektion: Gleichungen und Ungleichungen mit ln und exp Zurück zum Kapitel

Lösungen: Rechenregeln des natürlichen Logarithmus

A

  1. 77
  2. 66
  3. 88

B

  1. ln⁡2+ln⁡5\ln 2 + \ln 5
  2. ln⁡6+ln⁡8\ln 6 + \ln 8

C

  1. 11
  2. 44

D

  1. −1-1

E

  1. 77
  2. 66
  3. 88

CC BY-SA 4.0