Die Funktion ln: Ableitung, Monotonie, Grenzwerte

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Der Graph von $\ln$ entsteht aus dem von $\exp$ durch Spiegelung an der Geraden $y = x$ . Wogegen strebt $\ln x$ , wenn $x$ von rechts gegen 0 geht?

Die Funktion $\ln$ ist auf $]0; +\infty[$ differenzierbar.

$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ , und das ist positiv: $\ln$ ist streng monoton steigend. Für differenzierbares $u > 0$ : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$ und $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ .

Bestimme die Ableitung von $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

u'(x) = 2x

u(x) = x² + 1 ist positiv.

f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}

(ln u)' = u'/u.

Jetzt du: $f(x) = \ln(3x)$ für $x > 0$ . Wie groß ist $f'(1)$ ?

f'(x) = \dfrac{1}{x}

u'/u = 3/(3x) = 1/x.

f'(1) = 1

x = 1 einsetzen.

Wogegen strebt $8 + \ln x$ , wenn $x$ von rechts gegen 0 geht?
1. $-\infty$
2. $8$
3. $+\infty$
Wogegen strebt $9 + \ln x$ , wenn $x$ von rechts gegen 0 geht?
1. $-\infty$
2. $9$
3. $+\infty$

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Die Funktion ln

Achtung: $\ln$ wächst sehr langsam gegen $+\infty$ , aber es wächst unbegrenzt.

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