Gleichungen und Ungleichungen mit ln und exp

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Was prüfst du zuerst, bevor du $\ln(x - 3) = 2$ löst?

Dass $x - 3 > 0$ ist
Dass $x > 0$ ist

Die Grundidee

$\ln$ und $\exp$ sind streng monoton steigend: Sie erhalten die Reihenfolge.

Für $a, b > 0$ : $\ln a = \ln b \iff a = b$ und $\ln a < \ln b \iff a < b$ .

$\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$ .

Vorgehen: Definitionsmenge angeben, lösen und prüfen, ob die Lösungen in der Definitionsmenge liegen.

Beispiel

Löse $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 15$ .

Definitionsmenge:

x > 2

Es muss x > 0 und x − 2 > 0 gelten.

x(x - 2) = 15

Summe: ln des Produkts, und ln ist umkehrbar.

x = 5

oder

x = -3

Quadratische Gleichung lösen.

Die einzige Lösung ist

x = 5

−3 erfüllt x > 2 nicht.

Du bist dran

Jetzt du: Löse $\ln(x - 3) = \ln 7$ .

x - 3 = 7

ln ist umkehrbar.

x = 10

3 addieren. Probe: 10 − 3 > 0.

Üben ★

Löse $\ln(x - 7) = \ln 5$ .
Löse $\ln(x - 1) = \ln 8$ .
Löse $\ln(x - 2) = \ln 10$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Löse die Ungleichung $\ln x < \ln 8$ .
Löse die Ungleichung $\ln x < \ln 17$ .
Löse die Ungleichung $\ln x < \ln 14$ .

Löse $\ln x + \ln(x - 2) = \ln 8$ . Gib alle Lösungen an.

Löse $\ln(5x) = \ln 35$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Löse $\ln(x - 7) = \ln 5$ .
Löse $\ln(x - 1) = \ln 8$ .
Löse $\ln(x - 2) = \ln 10$ .

Merkkarte

Gleichungen und Ungleichungen

Die Definitionsmenge angeben.
Mit der Monotonie von $\ln$ oder $\exp$ lösen.
Nur Lösungen aus der Definitionsmenge behalten.

Achtung: Eine Lösung der umgeformten Gleichung ist nicht immer eine Lösung der Ausgangsgleichung.

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