Vektoren im Raum und Linearkombinationen

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$ABCDEFGH$ ist ein Würfel. Welcher Vektor ist gleich $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$ ?

Nicht maßstabsgetreu

$\overrightarrow{AF}$
$\overrightarrow{AG}$ $A G$ braucht drei Schritte: AB, dann BC, dann CG. Hier gibt es nur zwei." data-option="2"> $\overrightarrow{AG}$

Die Grundidee

Mit Vektoren im Raum rechnet man wie in der Ebene.

Vektorkette: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ .

Eine Linearkombination von $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ ist ein Vektor der Form $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$ mit reellen Zahlen $a$ , $b$ , $c$ .

Beispiel

Drücke im Würfel $\overrightarrow{AG}$ durch $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{AE}$ aus.

\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG}

Vektorkette: Der Weg wird entlang der Kanten zerlegt.

\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}

Im Würfel sind BC = AD und CG = AE als Vektoren.

Du bist dran

Jetzt du: $\vec{u} = (2|-1|3)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $4\vec{u}$ ?

4\vec{u} = (8|-4|\dots)

Jede Koordinate mal 4.

Die dritte Koordinate ist

12

.

4 · 3.

Üben ★

$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(4|0|2)$ und $(1|2|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $3\vec{u} + 3\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(6|0|2)$ und $(1|2|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(2|0|2)$ und $(1|4|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

$ABCDEFGH$ ist ein Würfel ( $ABCD$ und $EFGH$ sind gegenüberliegende Flächen, $E$ liegt über $A$ ). Welcher Vektor ist gleich $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ ?
1. $\overrightarrow{AH}$
2. $\overrightarrow{AG}$
3. $\overrightarrow{AF}$
$ABCDEFGH$ ist ein Würfel ( $ABCD$ und $EFGH$ sind gegenüberliegende Flächen, $E$ liegt über $A$ ). Welcher Vektor ist gleich $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ ?
1. $\overrightarrow{AH}$
2. $\overrightarrow{AG}$
3. $\overrightarrow{AF}$

Die Vektoren $\vec{u} = (3|2|1)$ und $\vec{v} = (12|t|4)$ sind kollinear. Wie groß ist $t$ ?
Die Vektoren $\vec{u} = (5|2|1)$ und $\vec{v} = (20|t|4)$ sind kollinear. Wie groß ist $t$ ?

$\vec{u} = (2|0|1)$ und $\vec{v} = (1|2|-1)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\vec{u} + \vec{v}$ ?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(4|0|2)$ und $(1|2|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $3\vec{u} + 3\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(6|0|2)$ und $(1|2|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?
$\vec{u}$ und $\vec{v}$ haben die Koordinaten $(2|0|2)$ und $(1|4|-1)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $5\vec{u} + 5\vec{v}$ ?

Merkkarte

Vektoren im Raum

Vektorkette und Parallelogrammregel gelten weiter.
Linearkombination: $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$ .

Achtung: Im Raum gibt es drei Koordinaten.

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