Basen und Koordinatensysteme im Raum

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Die Vektoren $\vec{i} = (1|0|0)$ , $\vec{j} = (0|1|0)$ und $\vec{u} = (2|3|0)$ sind nicht der Nullvektor. Bilden sie eine Basis des Raums?

$\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$ $u = 2 i + 3 j$ . Die drei Vektoren liegen in einer Ebene: Sie sind komplanar, also keine Basis." data-option="1">Nein
$\vec{u} = 2\vec{i} + 3\vec{j}$ $u = 2 i + 3 j$ , sie sind komplanar." data-option="2">Ja

Die Grundidee

Mit einer Basis lässt sich jeder Vektor des Raums beschreiben.

Nicht maßstabsgetreu

Drei nicht komplanare Vektoren bilden eine Basis des Raums. Dann lässt sich jeder Vektor eindeutig als $\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v} + z\vec{t}$ schreiben: $(x|y|z)$ sind seine Koordinaten.

Ein Koordinatensystem besteht aus einem Ursprung $O$ und einer Basis.

Beispiel

In einem Koordinatensystem sind $A(1|2|0)$ und $B(4|0|5)$ gegeben. Bestimme die Koordinaten von $\overrightarrow{AB}$ .

\overrightarrow{AB} = (4 - 1|0 - 2|5 - 0)

Koordinaten von A einzeln von denen von B abziehen.

\overrightarrow{AB} = (3|-2|5)

Ausrechnen.

Du bist dran

Jetzt du: $A(2|1|3)$ und $B(5|1|7)$ . Wie lautet die dritte Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?

7 - 3

z von B minus z von A.

4

Die Differenz.

Üben ★

$A(1|-1|6)$ und $B(4|2|5)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?
$A(1|4|4)$ und $B(4|-1|8)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?
$A(1|2|6)$ und $B(4|-2|8)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Bilden die Vektoren $\vec{u} = (1|0|0)$ , $\vec{v} = (0|1|0)$ und $\vec{w} = (4|5|0)$ eine Basis des Raums?
1. Nein, denn $\vec{w} = 4\vec{u} + 5\vec{v}$
2. Ja, denn keiner ist der Nullvektor
3. Ja, denn je zwei sind nicht kollinear
Bilden die Vektoren $\vec{u} = (1|0|0)$ , $\vec{v} = (0|1|0)$ und $\vec{w} = (3|5|0)$ eine Basis des Raums?
1. Nein, denn $\vec{w} = 3\vec{u} + 5\vec{v}$
2. Ja, denn keiner ist der Nullvektor
3. Ja, denn je zwei sind nicht kollinear

In der Basis $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ sind $\vec{a} = 6\vec{u} + 5\vec{v}$ und $\vec{b} = 6\vec{v} + \vec{w}$ . Wie lautet die Koordinate von $\vec{a} + \vec{b}$ zu $\vec{v}$ ?

In einem räumlichen Koordinatensystem sind $A(12|0|5)$ und $B(0|8|5)$ . Wie lautet die zweite Koordinate des Mittelpunkts der Strecke $[AB]$ ?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$A(1|-1|6)$ und $B(4|2|5)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?
$A(1|4|4)$ und $B(4|-1|8)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?
$A(1|2|6)$ und $B(4|-2|8)$ . Wie lautet die zweite Koordinate von $\overrightarrow{AB}$ ?

Merkkarte

Basis und Koordinatensystem

Basis: drei nicht komplanare Vektoren.
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A|y_B - y_A|z_B - z_A)$ .

Achtung: Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren bilden nicht immer eine Basis.

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