Koordinaten: Skalarprodukt, Betrag und Abstand

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

In einem kartesischen Koordinatensystem ist $\vec{u} = (1|2|2)$ . Wie lang ist $\vec{u}$ ?

$\sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ $1 + 4 + 4 = 9 = 3$ ." data-option="1"> $3$
$1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$ $1^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 9$ ist das Quadrat der Länge. Zieh noch die Wurzel." data-option="2"> $9$
$\sqrt{1 + 4 + 4}$ $1 + 4 + 4$ ." data-option="3"> $\sqrt{5}$

In einem kartesischen Koordinatensystem rechnet man alles mit den Koordinaten.

Für $\vec{u} = (x|y|z)$ und $\vec{v} = (x'|y'|z')$ : $\vec{u} \circ \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ und $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

$\overline{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .

Sind $\vec{u} = (2|-1|3)$ und $\vec{v} = (1|5|1)$ orthogonal?

\vec{u} \circ \vec{v} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 5 + 3 \cdot 1

Koordinaten paarweise multiplizieren, dann addieren.

\vec{u} \circ \vec{v} = 2 - 5 + 3 = 0

Ausrechnen.

Sie sind orthogonal.

Skalarprodukt null bedeutet orthogonal.

Jetzt du: Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ für $\vec{u} = (1|2|3)$ und $\vec{v} = (4|0|2)$ .

4 + 0 + 6

xx' + yy' + zz'.

10

Die Summe.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-3|6|2)$ und $\vec{v} = (3|4|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-4|2|2)$ und $\vec{v} = (1|2|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-2|5|2)$ und $\vec{v} = (5|6|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .

In einem kartesischen Koordinatensystem sind $A(-2|-4|1)$ und $B(-1|-2|3)$ . Berechne den Abstand $\overline{AB}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $A(-4|-2|1)$ und $B(0|6|9)$ . Berechne den Abstand $\overline{AB}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $A(-2|0|1)$ und $B(0|4|5)$ . Berechne den Abstand $\overline{AB}$ .

Für welchen Wert von $t$ sind $\vec{u} = (3|6|1)$ und $\vec{v} = (1|1|t)$ orthogonal?

Berechne in einem kartesischen Koordinatensystem die Länge von $\vec{u} = (1|2|2)$ .

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-3|6|2)$ und $\vec{v} = (3|4|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-4|2|2)$ und $\vec{v} = (1|2|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
In einem kartesischen Koordinatensystem sind $\vec{u} = (-2|5|2)$ und $\vec{v} = (5|6|-1)$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .

Im kartesischen Koordinatensystem

Achtung: Wurzel und dritte Koordinate nicht vergessen.

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