Das Skalarprodukt im Raum

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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In einem Würfel mit der Kantenlänge 1 liegen $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AE}$ auf zwei zueinander senkrechten Kanten. Wie groß ist $\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AE}$ ?

$0$
$1$

Die Grundidee

Zwei Vektoren im Raum liegen immer in einer Ebene: Das Skalarprodukt wird wie in der Ebene definiert.

$\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$ , wobei $\theta$ der Winkel zwischen den Vektoren ist.

$\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind genau dann orthogonal, wenn $\vec{u} \circ \vec{v} = 0$ gilt.

Linearität: $\vec{u} \circ (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \circ \vec{v} + b\,\vec{u} \circ \vec{w}$ . Außerdem: $\vec{u} \circ \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(|\vec{u} + \vec{v}|^2 - |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2\right)$ .

Beispiel

$|\vec{u}| = 3$ , $|\vec{v}| = 4$ , und der Winkel zwischen ihnen ist $60°$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .

\vec{u} \circ \vec{v} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60°

Definition anwenden.

\vec{u} \circ \vec{v} = 6

cos 60° = 1/2.

Du bist dran

Jetzt du: $\vec{u} \circ \vec{v} = 5$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 2$ . Berechne $\vec{u} \circ (3\vec{v} + \vec{w})$ .

3 \cdot 5 + 2

Linearität.

17

Die Summe.

Üben ★

$|\vec{u}| = 2$ , $|\vec{v}| = 5$ , und der Winkel zwischen den Vektoren ist $60°$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
$|\vec{u}| = 7$ , $|\vec{v}| = 4$ , und der Winkel zwischen den Vektoren ist $60°$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .
$|\vec{u}| = 3$ , $|\vec{v}| = 7$ , und der Winkel zwischen den Vektoren ist $60°$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 9$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 1$ . Berechne $\vec{u} \circ (5\vec{v} + 4\vec{w})$ .
Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 3$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 5$ . Berechne $\vec{u} \circ (3\vec{v} + 4\vec{w})$ .
Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 1$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 1$ . Berechne $\vec{u} \circ (4\vec{v} + 4\vec{w})$ .

$|\vec4| = 4$ , $|\vec5| = 5$ und $\vec4 \circ \vec5 = 3$ . Berechne $|\vec4 + \vec5|^2$ .

$|\vec{u}| = 7$ , $|\vec{v}| = 4$ und $\vec{u} \perp \vec{v}$ . Berechne $\vec{u} \circ \vec{v}$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 9$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 1$ . Berechne $\vec{u} \circ (5\vec{v} + 4\vec{w})$ .
Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 3$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 5$ . Berechne $\vec{u} \circ (3\vec{v} + 4\vec{w})$ .
Es gilt $\vec{u} \circ \vec{v} = 1$ und $\vec{u} \circ \vec{w} = 1$ . Berechne $\vec{u} \circ (4\vec{v} + 4\vec{w})$ .

Merkkarte

Skalarprodukt

$\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$ .
Orthogonal $\iff \vec{u} \circ \vec{v} = 0$ .
$\vec{u} \circ (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \circ \vec{v} + b\,\vec{u} \circ \vec{w}$ .

Achtung: Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.

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