Extrema, Optimierung und Ungleichungen

Über diese Lektion

Jahrgangsstufe 13 (erhöhtes Anforderungsniveau) › Anwendungen der Differential- und Integralrechnung

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Extrema, Optimierung und Ungleichungen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie verläuft die Tangente an einer Maximumstelle einer differenzierbaren Funktion?

  1. Waagrecht
  2. Senkrecht

Die Grundidee

Lokale Extremstellen sucht man unter den Nullstellen von f′f'.

Hat ff an einer inneren Stelle aa ein lokales Extremum, so gilt f′(a)=0f'(a) = 0. Die Umkehrung ist falsch: f′f' muss das Vorzeichen wechseln.

Ungleichungen: Um f≥gf \geq g zu zeigen, untersucht man das Monotonieverhalten von f−gf - g.

Beispiel

Ein rechteckiges Gehege hat einen Umfang von 40 m. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?

A(x)=x(20−x)A(x) = x(20 - x)
Mit x ist die andere Seite 20 − x.
A′(x)=20−2x=0A'(x) = 20 - 2x = 0, also x=10x = 10
Nullstelle von A'.
A(10)=100A(10) = 100 m²
Flächeninhalt.

Du bist dran

Jetzt du: Hat f(x)=x3f(x) = x^3 bei 0 ein Extremum? Wie groß ist f′(0)f'(0)?

00
f' wird null, ohne das Vorzeichen zu wechseln: kein Extremum.

Üben ★

  1. Ein Rechteck hat den Umfang 30. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?
  2. Ein Rechteck hat den Umfang 20. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?
  3. Ein Rechteck hat den Umfang 12. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welchen Tiefstwert hat f(x)=x2−10x+29f(x) = x^2 - 10x + 29?
  2. Welchen Tiefstwert hat f(x)=x2−2x+8f(x) = x^2 - 2x + 8?
  1. Abschlussaufgabe. Untersucht wird f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.
  1. Für f(x)=x3f(x) = x^3 gilt f′(0)=0f'(0) = 0. Liegt bei 0 ein Extremum vor?
    1. Nein: f′f' wechselt nicht das Vorzeichen
    2. Ja: f′f' wird null
    3. Ja: ein Minimum
  1. An welcher Stelle xx hat f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x ihr Maximum?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Rechteck hat den Umfang 30. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?
  2. Ein Rechteck hat den Umfang 20. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?
  3. Ein Rechteck hat den Umfang 12. Wie groß kann sein Flächeninhalt höchstens sein?

Merkkarte

Optimieren

  • Nullstellen von f′f' bestimmen.
  • Vorzeichenwechsel prüfen.

Achtung: f′(a)=0f'(a) = 0 reicht nicht.

Ende der Lektion

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Lösungen: Extrema, Optimierung und Ungleichungen

A

  1. 2254\frac{225}{4}
  2. 2525
  3. 99

B

  1. 44
  2. 77

C

  1. 22

D

  1. Nein: f′f' wechselt nicht das Vorzeichen

E

  1. 22

F

  1. 2254\frac{225}{4}
  2. 2525
  3. 99

CC BY-SA 4.0