Funktionenscharen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$f_a(x) = x^2 - 2ax$ beschreibt eine ganze Schar von Parabeln, eine für jedes $a$ . Verändere $a$ . Wo liegt der Tiefpunkt für $a = 2$ ?

Die Parabel f_a(x) = x² − 2ax: Ihr Tiefpunkt T(a | −a²) wandert auf der Parabel y = −x².

$f_2'(x) = 2x - 4 = 0$ $f_{2}^{'} (x) = 2 x - 4 = 0$ bei $x = 2$ , und $f_2(2) = -4$ ." data-option="1"> $T(2|-4)$
$x$ $x$ , nicht nach $a$ : $f_2'(x) = 2x - 4 = 0$ bei $x = 2$ ." data-option="2"> $T(0|0)$

Die Grundidee

Rechne mit $a$ wie mit einer festen Zahl; abgeleitet wird nach $x$ .

Eine Funktionenschar $f_a$ ordnet jedem Wert des Parameters $a$ eine Funktion zu. Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte berechnest du wie sonst, mit $a$ im Ergebnis.

Ortskurve: Hängt der Extrempunkt von $a$ ab, $T(x(a)|y(a))$ , löst du $x = x(a)$ nach $a$ auf und setzt in $y$ ein. Gemeinsame Punkte aller Graphen: $f_a(x) = f_b(x)$ für $a \neq b$ .

Beispiel

Tiefpunkt von $f_a(x) = x^2 - 2ax$ und seine Ortskurve.

f_a'(x) = 2x - 2a = 0

, also

x = a

Nach x ableiten.

T(a|-a^2)

Einsetzen.

Ortskurve

y = -x^2

x = a einsetzen.

Du bist dran

Jetzt du: $f_a(x) = x^2 - 2ax$ . Welche y-Koordinate hat der Tiefpunkt für $a = 3$ ?

-3^2

T(a|−a²) mit a = 3.

-9

Ergebnis.

Üben ★

$f_a(x) = x^2 - 2ax$ . Für welches $a$ liegt der Tiefpunkt bei $x = 3$ ?
$f_a(x) = x^2 - 2ax$ . Für welches $a$ liegt der Tiefpunkt bei $x = 2$ ?

$f_a(x) = x^2 - 2ax$ . Welche y-Koordinate hat der Tiefpunkt für $a = -4$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Alle Graphen der Schar $f_a(x) = ax^2 - 1ax$ (mit $a \neq 0$ ) gehen durch zwei gemeinsame Punkte. Welche x-Koordinate hat der Punkt mit $x > 0$ ?
Alle Graphen der Schar $f_a(x) = ax^2 - 2ax$ (mit $a \neq 0$ ) gehen durch zwei gemeinsame Punkte. Welche x-Koordinate hat der Punkt mit $x > 0$ ?

Die Tiefpunkte der Schar $f_a$ sind $T(a|-a^2)$ . Auf welcher Kurve liegen sie alle?
1. $y = -x^2$
2. $y = -a^2$
3. $y = x^2$

Abschlussaufgabe. Gegeben ist die Schar $f_a(x) = x^2 - 2ax + 9$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f_a(x) = x^2 - 2ax$ . Für welches $a$ liegt der Tiefpunkt bei $x = 3$ ?
$f_a(x) = x^2 - 2ax$ . Für welches $a$ liegt der Tiefpunkt bei $x = 2$ ?
$f_a(x) = x^2 - 2ax$ . Für welches $a$ liegt der Tiefpunkt bei $x = -2$ ?

Merkkarte

Funktionenscharen

$a$ ist eine feste Zahl; abgeleitet wird nach $x$ .
Ortskurve: $x(a)$ nach $a$ auflösen und einsetzen.
Gemeinsame Punkte: $f_a(x) = f_b(x)$ .

Achtung: Nicht nach $a$ ableiten.

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