Geraden und Ebenen im Raum: gegenseitige Lage

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Im Würfel $ABCDEFGH$ sind die Geraden $AB$ und $CG$ nicht parallel. Schneiden sie sich?

Nicht maßstabsgetreu

Nein
Ja

Die Grundidee

Eine Gerade ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor festgelegt, eine Ebene durch einen Punkt und zwei nicht parallele Richtungsvektoren.

Zwei Geraden im Raum schneiden sich, sind parallel oder sind windschief.

Eine Gerade und eine Ebene schneiden sich oder sind parallel. Zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden oder sind parallel.

Beispiel

$\vec{u} = (1|0|2)$ ist Richtungsvektor der Geraden $g$ . Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|0|1)$ . Ist $g$ parallel zu $E$ ?

\vec{u} = \vec{v} + 2\vec{w}

Man versucht, u mit v und w darzustellen.

Also ist

g

parallel zu

E

.

u ist eine Linearkombination von zwei Richtungsvektoren von E.

Du bist dran

Jetzt du: $\vec{u} = (3|0|4) = a\vec{v} + b\vec{w}$ mit $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|0|1)$ . Wie groß ist $b$ ?

a = 3

Erste Koordinate ablesen.

b = 4

Dritte Koordinate ablesen.

Üben ★

Wie liegen im Würfel $ABCDEFGH$ ( $E$ über $A$ , $F$ über $B$ usw.) die Geraden $AB$ und $EF$ zueinander?
1. Parallel
2. Schneidend
3. Windschief
Wie liegen im Würfel $ABCDEFGH$ ( $E$ über $A$ , $F$ über $B$ usw.) die Geraden $AB$ und $EF$ zueinander?
1. Parallel
2. Schneidend
3. Windschief

Vorsicht!

Üben ★★

Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|1|0)$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (3|3|0)$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ ist parallel zu $E$
2. $g$ schneidet $E$ auf jeden Fall
3. $g$ steht senkrecht auf $E$
Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|1|0)$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (2|1|0)$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ ist parallel zu $E$
2. $g$ schneidet $E$ auf jeden Fall
3. $g$ steht senkrecht auf $E$

Mit $\vec{v} = (1|1|0)$ und $\vec{w} = (0|1|1)$ gilt $6\vec{v} + 7\vec{w} = (x|y|z)$ . Wie groß ist $y$ ?

Wie liegt im Würfel $ABCDEFGH$ ( $E$ über $A$ ) die Gerade $EF$ zur Ebene durch $A$ , $B$ und $C$ ?
1. Parallel zur Ebene, ohne gemeinsamen Punkt
2. Sie schneidet die Ebene
3. Sie liegt in der Ebene

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|1|0)$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (3|3|0)$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ ist parallel zu $E$
2. $g$ schneidet $E$ auf jeden Fall
3. $g$ steht senkrecht auf $E$
Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|1|0)$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (2|1|0)$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ ist parallel zu $E$
2. $g$ schneidet $E$ auf jeden Fall
3. $g$ steht senkrecht auf $E$
Die Ebene $E$ hat die Richtungsvektoren $\vec{v} = (1|0|0)$ und $\vec{w} = (0|1|0)$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{u} = (4|4|0)$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ ist parallel zu $E$
2. $g$ schneidet $E$ auf jeden Fall
3. $g$ steht senkrecht auf $E$

Merkkarte

Lagebeziehungen

Zwei Geraden: schneidend, parallel oder windschief.
Gerade und Ebene: schneidend oder parallel.
Zwei Ebenen: schneiden sich in einer Geraden oder sind parallel.

Achtung: Im Raum heißt „nicht parallel“ nicht „schneidend“.

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