Koordinatengleichung einer Ebene

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Eine Ebene geht durch den Ursprung und hat den Normalenvektor $\vec{n} = (1|2|3)$ . Liegt der Punkt $M(1|1|-1)$ in dieser Ebene?

$\overrightarrow{OM} \circ \vec{n} = 1 + 2 - 3 = 0$ $O M \circ n = 1 + 2 - 3 = 0$ , also steht OM senkrecht auf n." data-option="1">Ja
$\overrightarrow{OM} \circ \vec{n}$ $O M \circ n$ : Es ist 0, also liegt M in der Ebene." data-option="2">Nein

$X$ liegt genau dann in der Ebene durch $A$ mit Normalenvektor $\vec{n}$ , wenn $\overrightarrow{AX} \circ \vec{n} = 0$ gilt (Normalenform).

Eine Ebene mit Normalenvektor $\vec{n} = (a|b|c)$ hat eine Koordinatenform $ax + by + cz + d = 0$ .

Man bestimmt $d$ , indem man einen gegebenen Punkt in die Gleichung einsetzt.

Bestimme eine Gleichung der Ebene durch $A(1|2|1)$ mit Normalenvektor $\vec{n} = (2|1|3)$ .

2x + y + 3z + d = 0

Die Koordinaten von n liefern a, b, c.

2 + 2 + 3 + d = 0

A liegt in der Ebene: einsetzen.

d = -7

Auflösen.

2x + y + 3z - 7 = 0

Ergebnis.

Jetzt du: Die Ebene $x + 4y - z + d = 0$ geht durch $A(1|1|2)$ . Bestimme $d$ .

3 + d = 0

Einsetzen: 1 + 4 − 2 + d = 0.

d = -3

Auflösen.

Die Ebene $1x + 1y + 1z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(3|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?
Die Ebene $5x + 4y + 4z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(5|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?
Die Ebene $2x + 4y + 5z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(5|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?

Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene $2x - 3y + z - 6 = 0$ ?
1. $(2|-3|1)$
2. $(2|-3|-6)$
3. $(2|3|1)$
Welcher Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene $6x - 2y + z - 6 = 0$ ?
1. $(6|-2|1)$
2. $(6|-2|-6)$
3. $(6|2|1)$

Der Punkt $M(1|1|z)$ liegt in der Ebene $2x + 1y + z - 8 = 0$ . Wie groß ist $z$ ?
Der Punkt $M(1|1|z)$ liegt in der Ebene $3x + 1y + z - 8 = 0$ . Wie groß ist $z$ ?

Die Ebene mit Normalenvektor $\vec{n} = (5|2|1)$ geht durch $A(4|3|0)$ . Ihre Gleichung lautet $5x + 2y + z + d = 0$ . Wie groß ist $d$ ?

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Die Ebene $1x + 1y + 1z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(3|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?
Die Ebene $5x + 4y + 4z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(5|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?
Die Ebene $2x + 4y + 5z + d = 0$ geht durch den Punkt $A(5|1|2)$ . Wie groß ist $d$ ?

Koordinatenform einer Ebene

Achtung: $d$ nicht vergessen, sonst ginge die Ebene durch den Ursprung.

Über diese Lektion