Normalenvektor und senkrechte Ebenen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Der Fußboden eines Zimmers ist eine Ebene, und ein Lot hängt senkrecht herab. Wie steht der Faden zu allen Geraden, die man auf den Boden zeichnet?

Er steht senkrecht auf ihnen
Er ist parallel zu ihnen

Die Grundidee

Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der auf zwei nicht parallelen Richtungsvektoren der Ebene senkrecht steht.

$\vec{n}$ ist genau dann Normalenvektor der Ebene $E$ mit den Richtungsvektoren $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , wenn $\vec{n} \circ \vec{u} = 0$ und $\vec{n} \circ \vec{v} = 0$ .

Zwei Ebenen stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihre Normalenvektoren orthogonal sind. Sie sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren parallel sind.

Beispiel

Ist $\vec{n} = (1|-1|2)$ Normalenvektor der Ebene mit den Richtungsvektoren $\vec{u} = (1|1|0)$ und $\vec{v} = (2|0|-1)$ ?

\vec{n} \circ \vec{u} = 1 - 1 + 0 = 0

Erste Probe.

\vec{n} \circ \vec{v} = 2 + 0 - 2 = 0

Zweite Probe.

Ja,

\vec{n}

ist ein Normalenvektor der Ebene.

Er steht auf beiden Richtungsvektoren senkrecht.

Du bist dran

Jetzt du: Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n} = (1|2|3)$ und $\vec{m} = (2|2|-2)$ . Berechne $\vec{n} \circ \vec{m}$ .

2 + 4 - 6

Komponentenweise multiplizieren.

0

Das Ergebnis: Die Ebenen stehen senkrecht aufeinander.

Üben ★

Der Vektor $\vec{n} = (1|3|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?
Der Vektor $\vec{n} = (2|4|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?
Der Vektor $\vec{n} = (4|3|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n} = (2|1|0)$ und $\vec{m} = (1|-2|3)$ . Was gilt für die Ebenen?
1. Sie stehen senkrecht aufeinander
2. Sie sind parallel
3. Sie sind identisch
Zwei Ebenen haben die Normalenvektoren $\vec{n} = (5|1|0)$ und $\vec{m} = (1|-5|3)$ . Was gilt für die Ebenen?
1. Sie stehen senkrecht aufeinander
2. Sie sind parallel
3. Sie sind identisch

Eine Ebene hat die Richtungsvektoren $\vec{u} = (1|0|1)$ und $\vec{v} = (0|1|1)$ . Welcher dieser Vektoren ist ein Normalenvektor?
1. $\vec{n} = (5|5|-5)$
2. $\vec5 = (5|0|5)$
3. $\vec{b} = (5|5|5)$
Eine Ebene hat die Richtungsvektoren $\vec{u} = (1|0|1)$ und $\vec{v} = (0|1|1)$ . Welcher dieser Vektoren ist ein Normalenvektor?
1. $\vec{n} = (2|2|-2)$
2. $\vec2 = (2|0|2)$
3. $\vec{b} = (2|2|2)$

Der Vektor $\vec{n}$ ist Normalenvektor der Ebene $E$ . Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\vec{n}$ . Was gilt für $g$ und $E$ ?
1. $g$ steht senkrecht auf $E$
2. $g$ ist parallel zu $E$
3. $g$ liegt in $E$

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Der Vektor $\vec{n} = (1|3|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?
Der Vektor $\vec{n} = (2|4|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?
Der Vektor $\vec{n} = (4|3|t)$ ist Normalenvektor einer Ebene mit der Richtung $\vec{u} = (1|1|1)$ . Wie groß ist $t$ ?

Merkkarte

Normalenvektor

$\vec{n}$ Normalenvektor von $E$ : senkrecht auf zwei nicht parallelen Vektoren von $E$ .
Ebenen senkrecht: Normalenvektoren orthogonal.
Ebenen parallel: Normalenvektoren parallel.

Achtung: Ein Normalenvektor ist kein Richtungsvektor der Ebene.

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