Parameterdarstellung einer Geraden

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Drohne startet in $A(1|2|0)$ und bewegt sich jede Sekunde um $\vec{u} = (2|0|1)$ . Wo ist sie nach 3 Sekunden?

$(7|2|3)$
$(6|0|3)$

Die Grundidee

Ein Punkt $X$ liegt genau dann auf der Geraden durch $A$ mit Richtungsvektor $\vec{u}$ , wenn $\overrightarrow{AX} = t \cdot \vec{u}$ für eine reelle Zahl $t$ gilt.

Nicht maßstabsgetreu

Parameterform der Geraden durch $A(x_A|y_A|z_A)$ mit Richtungsvektor $\vec{u} = (a|b|c)$ , $g\colon \vec{X} = \vec{A} + t \cdot \vec{u}$ , also koordinatenweise:

$\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$

Beispiel

Liegt der Punkt $B(5|4|7)$ auf der Geraden $x = 1 + 2t$ , $y = t + 2$ , $z = 3t + 1$ ?

1 + 2t = 5

, also

t = 2

Die erste Gleichung liefert t.

y = 2 + 2 = 4

: passt.

Probe mit y.

z = 3 \cdot 2 + 1 = 7

: passt.

Probe mit z.

B

liegt auf der Geraden.

Dasselbe t erfüllt alle drei Gleichungen.

Du bist dran

Jetzt du: Für $x = 2 + t$ , $y = 3t$ , $z = 1 - t$ bestimme $y$ für $t = 4$ .

y = 3 \cdot 4

t = 4 einsetzen.

12

Das Produkt.

Üben ★

Eine Gerade hat die Parameterform $x = -3 + 5t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?
Eine Gerade hat die Parameterform $x = 5 + 6t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?
Eine Gerade hat die Parameterform $x = -1 + 4t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Eine Gerade hat die Parameterform $x = 2 + t$ , $y = 4 - 2t$ , $z = 2t$ . Welcher Vektor ist ein Richtungsvektor dieser Geraden?
1. $(1|-2|2)$
2. $(2|4|0)$
3. $(2|-2|2)$
Eine Gerade hat die Parameterform $x = 6 + t$ , $y = 4 - 2t$ , $z = 6t$ . Welcher Vektor ist ein Richtungsvektor dieser Geraden?
1. $(1|-2|6)$
2. $(6|4|0)$
3. $(6|-2|6)$

Eine Gerade geht durch $A(1|0|2)$ und hat den Richtungsvektor $\vec5 = (5|1|-1)$ . Gib $x$ in Abhängigkeit von $t$ an.
Eine Gerade geht durch $A(5|0|2)$ und hat den Richtungsvektor $\vec6 = (6|1|-1)$ . Gib $x$ in Abhängigkeit von $t$ an.

Die Gerade $x = 4 + t$ , $y = 2t$ , $z = 2$ geht durch einen Punkt mit der x-Koordinate $7$ . Welche y-Koordinate hat er?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Eine Gerade hat die Parameterform $x = -3 + 5t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?
Eine Gerade hat die Parameterform $x = 5 + 6t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?
Eine Gerade hat die Parameterform $x = -1 + 4t$ , $y = t$ , $z = 1 - t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ). Welche x-Koordinate hat der Punkt mit dem Parameter $t = 2$ ?

Merkkarte

Parameterform einer Geraden

$x = x_A + at$ , $y = y_A + bt$ , $z = z_A + ct$ .
Konstanten: ein Aufpunkt. Koeffizienten von $t$ : ein Richtungsvektor.

Achtung: Bei der Punktprobe muss dasselbe $t$ alle drei Gleichungen erfüllen.

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