Das bestimmte Integral und seine Eigenschaften

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$\displaystyle\int_0^2 (-3)\,\mathrm{d}x$ : Die Gerade $y = -3$ liegt unterhalb der x-Achse. Welchen Wert hat das Integral?

$-6$
$6$

Die Grundidee

Ist $f$ auf $[a; b]$ stetig und positiv, so ist das Integral der Flächeninhalt unter dem Graphen, in Flächeneinheiten.

Eigenschaften von $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ :

Intervalladditivität: $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ . Vertauschte Grenzen: $\displaystyle\int_b^a f = -\int_a^b f$ . Linearität: $\displaystyle\int_a^b (kf + g) = k\int_a^b f + \int_a^b g$ . Konstante: $\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$ .

Beispiel

$\displaystyle\int_0^4 f = 5$ und $\displaystyle\int_4^6 f = -2$ . Berechne $\displaystyle\int_0^6 \big(2f(x) - 1\big)\,\mathrm{d}x$ .

\displaystyle\int_0^6 f = 5 + (-2) = 3

Intervalladditivität.

2 \cdot 3 - 1 \cdot 6

Linearität; die Konstante −1 über eine Länge von 6.

= 0

Ausrechnen.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne mit derselben Funktion $f$ das Integral $\displaystyle\int_6^0 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

-3

Die Grenzen werden vertauscht: Das Vorzeichen ändert sich.

Üben ★

$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -7$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 8$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Nutze die Geometrie: Berechne $\displaystyle\int_{-6}^{ 6 } \sqrt{ 36 - x^2}\,\mathrm{d}x$ .
Nutze die Geometrie: Berechne $\displaystyle\int_{-1}^{ 1 } \sqrt{ 1 - x^2}\,\mathrm{d}x$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$\displaystyle\int_0^{ 4 } f(x)\,\mathrm{d}x = 3$ . Berechne $\displaystyle\int_0^{ 4 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_0^{ 9 } f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ . Berechne $\displaystyle\int_0^{ 9 } \big(3f(x) + 2\big)\,\mathrm{d}x$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = -4$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = -7$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 8$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .
$\displaystyle\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5$ und $\displaystyle\int_3^7 f(x)\,\mathrm{d}x = 7$ . Berechne $\displaystyle\int_7^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ .

Merkkarte

Bestimmtes Integral

Flächenbilanz: Unterhalb der x-Achse zählt die Fläche negativ.
Vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen. Benachbarte Intervalle werden addiert.
$\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$ .

Achtung: Eine Konstante wird über die ganze Intervalllänge integriert.

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