Integralfunktionen: der Hauptsatz, Teil 2

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

$g(x) = \displaystyle\int_0^x 2t\,\mathrm{d}t$ ist der Flächeninhalt unter der Geraden $y = 2t$ zwischen 0 und $x$ , also $x^2$ . Was ist $g'(x)$ ?

Die Fläche wächst so schnell, wie der Graph hoch ist.

Ist

f

stetig, so ist die Integralfunktion

I_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t

eine Stammfunktion von

f

mit Nullstelle

a

I_a' = f

und

I_a(a) = 0

$g(x) = \displaystyle\int_1^{x} \sqrt{t}\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ und $g(1)$ .

g'(x) = \sqrt{x}

g ist die Stammfunktion von √t mit Nullstelle 1.

g(1) = 0

Obere und untere Grenze sind gleich.

Jetzt du: $g(x) = \displaystyle\int_2^x (t^3 - t)\,\mathrm{d}t$ .

g'(x) = x^3 - x

g ist eine Stammfunktion von t³ − t.

$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 1 }^{x} (t^{ 3 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 3 } + 1)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .

Hier ist der Graph von $y = f(t)$ . Es sei $g(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, dessen x-Wert zu einem lokalen Maximum von $g$ gehört.
Hier ist der Graph von $y = f(t)$ . Es sei $g(x) = \displaystyle\int_{-5}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, dessen x-Wert zu einem lokalen Maximum von $g$ gehört.

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 2 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 1 }^{x} (t^{ 3 } + 2)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .
$g(x) = \displaystyle\int_{ 4 }^{x} (t^{ 3 } + 1)\,\mathrm{d}t$ . Berechne $g'(x)$ .

Integralfunktion

$I_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $I_a(a) = 0$ .
$I_a$ steigt, wo $f > 0$ ist, und fällt, wo $f < 0$ ist.

Achtung: Die Ableitung liefert $f$ , nicht eine Stammfunktion von $f$ .

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